Mi a közös az alábbi sorozatokban? a) a1=3; an=an-1+n.  (n>1) b) b1=2, b2=3, bn=bn-1⋅√2+bn-2⋅sin(π/4).  (n>2) c) c1=1, c2=1, cn=cn-1+cn-2. (n>2) Mindhárom esetben az első (néhány) tag közvetlenül (explicit módon) lett megadva. A további tagok definíciójánál hivatkozunk az előző tagra vagy tagokra. Az ilyen sorozatok az un. rekurzív sorozatok. Az egyikTovább

A számsorozatok a pozitív  természetes számokon értelmezett függvény. Bár függvényként kezelhetjük őket, de a definíció következtében a függvényvizsgálatok egy részére nincs szükség. Hiszen például az értelmezési tartomány adott, a pozitív természetes számok halmaza. Persze bizonyos sorozatoknál ez szükülhet is. (pl: az an= 1/(n-3) esetén n≠3.) Nincs értelme például a folytonosságTovább

Bevezető példa: Írjuk fel a következő expilicit módon megadott számsorozat első néhány elemét: an=3⋅n+1. Az első öt tag: a1=4; a2=7; a3=10; a4=13; a5=16… Látható, hogy a minden tag az előzőhöz képest 3-mal több. Így a fenti sorozat rekurzív módon is megadható. Megadjuk az első elemét és a képzési szabályt: a1=4; an=an-1+3. Definíció: Számtani sorozatoknak nevezzük azokat aTovább

Bevezető példa: 1. A következő sorozatot nagyon könnyű folytatni: 2; 4; 8; 16,…és így tovább. Szavakkal: Az első tag 2, minden tag az előző kétszerese. 2. Szerkesszünk egy 3 egység oldalú ABCD négyzetet. Ennek BD átlójára egy újabb négyzetet. És így tovább. Számítsuk ki az egyes négyzetek oldalhosszúságaiból álló sorozatTovább

Ezt a sorozatot az olasz Fibonacci-ról nevezték el, mert ő fogalmazta meg a következő feladatot: “Hány pár nyúl származhat egy évben egyetlen pártól, ha minden pár havonta új párnak ad életet, amely a második hónaptól lesz tenyészképes, és feltételezzük, hogy egy ivadék sem pusztul el?” A válasz a következő sorozat:Tovább

Bevezető feladat Ábrázoljuk és jellemezzük korlátosság és monotonitás szempontjából az: ​\( a_{n}=\frac{n+1}{n-1} \)​ sorozatot! Megoldás A sorozat ábrázolása: A sorozat első néhány eleme: a1=-nincs értelmezve; a2=3; a3=2; a4=5/3; a5=6/4; a6=7/5; a7=8/6≈1,33; a8=9/7≈1,29; a9=10/8; a10=11/9;… A sorozat grafikonját a mellékelt animáció szemlélteti: A sorozat jellemzése Korlátosság: Mivel a sorozat számlálója mindig nagyobb, mint a nevező és mind a nevezőTovább

Tétel: Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Ez a határérték fogalmából következik. Tétel: Minden konvergens sorozat korlátos. A korlátosság a sorozat konvergenciájának a szükséges, de nem elégséges feltétele. A {(-1)n }sorozat nyilvánvalóan korlátos, de nem konvergens. Tétel: Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Ez a tétel fontos és hasznos a határértékTovább

A) Számtani sorozatok konvergenciája A számtani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (a1) és differenciája d. A hozzárendelési szabály: an=a1+(n-1)⋅d. A számtani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás  és határérték szempontjából. A sorozat differenciája d>0.  Ebben az esetben a sorozat alulról korlátos, alsó korlátja k=a1, felülről nem korlátos, szigorúan monoton nő ésTovább