Ez a tétel a következő három állítást és azok bizonyítását tartalmazza: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők. Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Segédtétel: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velükTovább

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: Tudjuk, hogy egy adott szakasz felező merőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. Húzzuk meg a mellékelt ABC háromszög AB illetve BC oldalainak felezőmerőlegesét. Az AB oldal felezőmerőlegese (e) és a BCTovább

Tétel: A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Bizonyítás: Tudjuk, hogy a szögfelező félegyenes azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög száraitól. Tekintsük a mellékelt ABC háromszöget ahol meghúztuk az A csúcsból induló fa és a B csúcsból induló fb belső szögfelezőt. Az fa szögfelezőTovább

Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Bizonyítás: Tekintsük a jobb oldali ábrán az ABC háromszöget. Az a, b és c oldalhoz tartozó magasságokat jelöljük ma, mb, mc-vel. Azt kell belátnunk, hogy ezek egy pontban metszik egymást.         Húzzunk az ABC háromszög egyes csúcsain át párhuzamosokatTovább

Állítás: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja két részre úgy, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felől van. Azaz: AS:SE=BS:SF=CS:SD=”2:1″ Bizonyítás:     Húzzuk meg az A és a B csúcsból induló súlyvonalakat. Ezeknek a szemközti oldalon lévő metszéspontját jelöljükTovább

Tétel: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre. A mellékelt ABC háromszögben az A csúcsnál lévő α szög felezője a szemközti oldalt a D csúcsban metszi.  A bizonyítandó állítás: CD:DB=AC:AB Bizonyítás: Hosszabbítsuk meg az AB=c oldal egyenesét A csúcson túl.    Tovább

Hérón görög matematikusról elnevezett képlet segítségével a háromszög területe könnyen kiszámítható a három oldal ismeretében. A Héron képlet: ​\( t=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)} \)  ahol s a háromszög kerületének a fele, azaz  ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​. Ezt az összefüggést valószínűleg Arkhimédész fedezte fel, de Hérón bizonyította be elsőként. A képlet levezetése: Induljunk ki a háromszögTovább

Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. A mellékelt ábra jelölései szerint: a2+b2=c2. A tétel bizonyítása: Készítsünk két darab (a+b) oldalú négyzetet az alábbi módon, ahol “a” és “b” a derékszögű háromszög befogói. (Ez a “csel”.) A két darab  (b+a) oldalú négyzetek területe nyilvánvalóanTovább

Definíció: Pitagoraszi számhármason három olyan pozitív egész szám együttesét értjük, amelyek kielégítik az x2+y2=z2 egyenletet. x;y;z∈ℤ. Ennek a speciális diophantoszi egyenletnek nyilvánvaló megoldása például x=3, y=4 és z=5. A pitagoraszi számhármasokkal mint oldalhosszúságokkal szerkesztett háromszögek mindig derékszögűek lesznek, hiszen megfelelnek Pitagorasz tételének. Természetesen egy számhármas pozitív egész számú többszöröse isTovább

Ezt a tételt a magasság tétellel együtt szokás a derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételeknek is nevezni. Állítás: Derékszögű háromszögben a háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetületének. A mellékelt ábra betűzése szerint: ​: ​\( a=\sqrt{c·y} \)​  és  ​\( b=\sqrt{c·x} \)​ Bizonyítás: Az AB átfogóhoz tartozó magasságTovább