Háromszög oldalfelező merőlegesei

Van a Mátrában egy – Szent Istvánról elnevezett – templom, amelyet úgy is hívnak, hogy a „Három falu temploma”. A templom a XX. század első felében épült. Szándék szerint  három falu — Mátraszentimre, Mátraszentlászló, Mátraszentistván — közös templomának készült azzal az elképzeléssel, hogy mindhárom falutól közel egyenlő távolságra legyen. Vajon hogyan határozható meg a három falutól közel egyenlő távolságra lévő hely?

Ha adott három, nem egy egyenesbe eső pont, akkor ezek egy háromszöget határoznak meg.

Tétel:

A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás:

Tudjuk, hogy egy adott szakasz felező merőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Húzzuk meg a mellékelt ABC háromszög AB illetve BC oldalainak felezőmerőlegesét.

Az AB oldal felezőmerőlegese (f_c) és a BC oldal felezőmerőlegese (f_a) metszi egymást egy pontban (M), hiszen AB és BC nem párhuzamosak, ezért felezőmerőlegeseik sem azok.

Az f_c egyenes minden pontja, így M is egyenlő távol van A és B pontoktól.

Az  f_a  egyenes minden pontja, így M is, egyenlő távol van B és C pontoktól.

Ebből következik, hogy az M pont egyenlő távol van A, B és C csúcstól is. Tehát  az M pont illeszkedik AC felezőmerőlegesére (f_b).

Az oldalfelező merőlegesek M metszéspontja tehát egyenlő távol van mindhárom csúcstól, ezért ha M pont körül AM=BM=CM sugárral kört húzunk, a kör át fog menni a háromszög mindhárom csúcsán.

Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszög belsejében van.	Ha a háromszög derékszögű, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezési pontja. (Thalész tétele)	Ha háromszög tompaszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik.

A mellékelt animáció érzékelteti, hogy a háromszög köré írt kör középpontja milyen esetekben mikor esik a háromszögön belülre, kívülre vagy a háromszög kerületére.

A három falu esetén valahogy így nézhetett ki a megoldás:

Megjegyzés: Ma már Mátraszentimrének saját temploma van.