A valós számokon értelmezett műveletek tulajdonságai: 1. kommutativitás (felcserélhetőség) 2. asszociativitás (csoportosíthatóság) 3. disztributivitás (tagolhatóság) Valós számok a racionális számok és az irracionális számok együttese. Jele: ℝ. A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. 1. Kommutativitás (felcserélhetőség)  Az összeadás kommutatív tulajdonsága azt jelenti, hogy azTovább

Az oszthatóság kérdését teljes általánosságban Pascal francia matematikus vizsgálta. Definíció: Az „a„, „b” természetes számok esetén az „a” számot „b” osztójának nevezzük, ha van olyan „q” természetes szám, hogy fennáll a b=a⋅q egyenlőség. Ekkor azt mondjuk, hogy „b” osztható „a„-val. Jelölés: a|b, ha b=a⋅q, és a,b,q ∈ ℕ-nek. Például: 9|63,Tovább

A prímszám fogalma az oszthatóság fogalmához kapcsolódik. Definíció: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak (vagy másképp törzsszámoknak) nevezzük. Az 1 és a 0 nem prímszámok, mert az 1-nek egy darab, a 0-nak pedig végtelen sok osztója van. A 2 a legkisebb prímszám, egyben ő az egyetlenTovább

Eukleidész  már az ókorban bebizonyította, hogy nincs legnagyobb prímszám. Az ő bizonyítása mai megfogalmazással a következő: Állítás:  Nincs legnagyobb prímszám. Bizonyítás (indirekt bizonyítás): Tételezzük fel az ellenkezőjét, azaz tételezzük fel, hogy van legnagyobb prímszám, azaz a prímszámok száma véges. Tegyük fel, hogy „k” darab prímszám van: p1=2, p2=3, p3=5 ésTovább

A prímszámok fogalmát valószínűleg már az egyiptomiak és a mezopotámiai népek is ismerték. Első, tervszerű tanulmányozói a püthagoreusok voltak, de a prímszámokra először Eukleidésznél találunk pontos meghatározást. Mivel a prímszámok a természetes számok, illetve az egész számok „atomjai”, mindig nagyon foglalkoztatták a matematikusokat. A prímszámokkal kapcsolatos legfontosabb kérdések: • PrímszámokTovább

Prímszámok között tetszőleges nagy hézagok vannak. Bizonyított, hogy a prímszámok sorában tetszőleges nagy hézagok vannak, azaz a természetes számoknak olyan sorozata, amelyek között nincs prímszám. Ha egy k hosszúságú hézagot akarunk készíteni, szorozzuk össze a k-nál kisebb prímszámokat, és adjunk hozzá rendre 2-t, 3-t, 4-t,…, k+1-t. Példa: Készítsünk 20 darabTovább

A prímszámok előállításának ma is használt módszere Eratoszthenész görög matematikustól származik. Az elnevezés utal az eljárás lényegére, mivel az 1-től n-ig felírt egész számok közül „kiszitáljuk” az összetett számokat. Amely számok fennmaradnak a „szitán” (az 1 kivételével) azok a prímek. Az eljárás: 1. Írjuk fel a számokat 1-től n-ig, (ittTovább

Nagyon nagy prímszámok:       Érték Számjegyek száma Felfedezés Megjegyzés 2127-1 39 számjegy Számítástechnika előtt 22281-1 23217-1 24423-1 2216091-1   1996. GMIPS   909 526 számjegy 1998. 2 6 972 593-1 2 098 960 számjegy 1999. 213 466 917-1 4 053 946 számjegy 2001. 220 996 011-1 6 320Tovább

Definíció: Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van. Számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható prímszámok szorzataként. Például: ​\( 72=2·2·2·3·3=2^{3}·3^{2} \)​ Ez utóbbi hatványkitevős alakot a számok kanonikus alakjának nevezzük. Általában: ​\( n=p_{1}^{k}·p_{2}^{l}·p_{3}^{m}·p_{4}^{n}·…·p_{n}^{i} \)​. A tétel bizonyítása két részből áll.Tovább