Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ+! a(x)=1.5 v(x)=1.5⋅x+2.5 s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x Általánosabban: a(x)=a v(x)=a⋅x+k0 s(x)=ax2+k0⋅x Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás) A gyorsulás időben állandó: a(t)=a. Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k0. Út az idő függvényében: s(t)=at2+k0⋅t. Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között? (v(t))’= a(t)Tovább

Definíció: Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja). A fenti definíció közvetlen következménye: Tétel: (az integrálszámítás alaptétele) Ha F(x) függvény primitív függvényeTovább

Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. A körbe írt és a köré kör írt négyzetekkel próbálták a kör területét behatárolni. Ma már közismert, hogy a kör területe=r2π és az is közismert, hogy a π egy irracionálisTovább

A határozott integrál szemléletes fogalma Tekintsük egy adott intervallumon korlátos f:[a;b]→ℝ;f(x) függvényt! Osszuk fel az [a;b] intervallumot „n” részre! Az nem lényeges, hogy egyenlő részek legyenek. (a=x0; x1; x2; …;xn=b). A parabolikus háromszöghöz hasonlóan fogunk eljárni, a kétoldali közelítés módszerét fogjuk alkalmazni. Képezzük az adott beosztáshoz tartozó alsó közelítő összegeket:​Tovább

A határozott integrál definíciója: Az [a; b] intervallumon korlátos „f” függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és felső összeg közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük az „f” függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. (Riemann-féle integrál). ​\( lim_{ nx \to \infty }s_{n}=\lim_{ nx \toTovább

Feladatok 1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét! Megoldás: F(x)=0.25×2+3x+c, azaz ​\( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \)​ Ellenőrzés: F’(x)={0.25×2+3x+c}’=0.5x + 3. 2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3! A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét! Megoldás: A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5Tovább

Feladat Ábrázoljuk az f(x)=2x+3 függvényt és határozzuk meg az  [1; 4] intervallumon a függvény alatti terület értékét! Megoldás: A függvény grafikonja: Ez egy lineáris függvény. Az “x” tengely [1,4] intervalluma és a függvény közötti síkidom egy trapéz, amelynek párhuzamos oldalai: f(1)=5, f(4)=11 és a két párhuzamos oldal távolsága az intervallumTovább

A határozott integrál illetve a Newton-Leibniz formula segítségével meg tudjuk határozni egy integrálható függvény és az “x” tengely által közbezárt síkidom területét. Ez az alapja annak is, hogy két függvény által közrefogott terület értékét is k tudjuk számítani. Példa: Határozzuk meg az g: ℝ\ℝ–→ℝ, g(x)=​\( \sqrt{2x} \)​ gyökfüggvény és azTovább

A helyettesítési integrálás formulája: Az összetett függvény differenciálási szabálya és a Newton-Leibniz formula segítségével igazolható az alábbi étel: ​\( \int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx}=\int_{a}^{b}{ f(g(t))·g'(t)dt} \)​. Figyelem: A helyettesítés módszerének alkalmazásánál az eredeti határok megváltozhatnak. Példa: Határozzuk meg a ​\( \int_{0}^{\frac{ π }{2}}{sin(2x)dx } \)​ integrál értékét! Megoldás: Legyen 2x = t. Ez aTovább

Feladatok: 1. Legyen adott az a következő lineáris függvény: l(x)=0.5⋅x . Ábrázoljuk és számítsuk ki a függvény alatti területet a [2,6] intervallumon! Megoldás: A lineáris függvény alatti terület ezen az intervallumon egy trapéz. Így a területe a trapézokra vonatkozó terület képlettel könyen számítható: Ttrapéz= (1+3)⋅4/2=8 területegység. Persze, a terület kiszámításaTovább