Primitív függvény. Függvénygörbe alatti terület. Derivált függvény. Alapintegrálok. Integrálási szabályok. Newton-Leibniz formula. területszámítás. Forgástest térfogata.
Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ+! a(x)=1.5 v(x)=1.5⋅x+2.5 s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x Általánosabban: a(x)=a v(x)=a⋅x+k0 s(x)=ax2+k0⋅x Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás) A gyorsulás időben állandó: a(t)=a. Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k0. Út az idő függvényében: s(t)=at2+k0⋅t. Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között? (v(t))’= a(t)Tovább
Definíció: Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja). A fenti definíció közvetlen következménye: Tétel: (az integrálszámítás alaptétele) Ha F(x) függvény primitív függvényeTovább
Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. A körbe írt és a köré kör írt négyzetekkel próbálták a kör területét behatárolni. Ma már közismert, hogy a kör területe=r2π és az is közismert, hogy a π egy irracionálisTovább
A határozott integrál szemléletes fogalma Tekintsük egy adott intervallumon korlátos f:[a;b]→ℝ;f(x) függvényt! Osszuk fel az [a;b] intervallumot „n” részre! Az nem lényeges, hogy egyenlő részek legyenek. (a=x0; x1; x2; …;xn=b). A parabolikus háromszöghöz hasonlóan fogunk eljárni, a kétoldali közelítés módszerét fogjuk alkalmazni. Képezzük az adott beosztáshoz tartozó alsó közelítő összegeket:Tovább
A határozott integrál definíciója: Az [a; b] intervallumon korlátos „f” függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és felső összeg közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük az „f” függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. (Riemann-féle integrál). \( lim_{ nx \to \infty }s_{n}=\lim_{ nx \toTovább
Feladatok 1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét! Megoldás: F(x)=0.25×2+3x+c, azaz \( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \) Ellenőrzés: F’(x)={0.25×2+3x+c}’=0.5x + 3. 2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3! A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét! Megoldás: A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5Tovább
Feladat Ábrázoljuk az f(x)=2x+3 függvényt és határozzuk meg az [1; 4] intervallumon a függvény alatti terület értékét! Megoldás: A függvény grafikonja: Ez egy lineáris függvény. Az „x” tengely [1,4] intervalluma és a függvény közötti síkidom egy trapéz, amelynek párhuzamos oldalai: f(1)=5, f(4)=11 és a két párhuzamos oldal távolsága az intervallumTovább
A határozott integrál illetve a Newton-Leibniz formula segítségével meg tudjuk határozni egy integrálható függvény és az „x” tengely által közbezárt síkidom területét. Ez az alapja annak is, hogy két függvény által közrefogott terület értékét is k tudjuk számítani. Példa: Határozzuk meg az g: ℝ\ℝ–→ℝ, g(x)=\( \sqrt{2x} \) gyökfüggvény és azTovább
A helyettesítési integrálás formulája: Az összetett függvény differenciálási szabálya és a Newton-Leibniz formula segítségével igazolható az alábbi étel: \( \int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx}=\int_{a}^{b}{ f(g(t))·g'(t)dt} \). Figyelem: A helyettesítés módszerének alkalmazásánál az eredeti határok megváltozhatnak. Példa: Határozzuk meg a \( \int_{0}^{\frac{ π }{2}}{sin(2x)dx } \) integrál értékét! Megoldás: Legyen 2x = t. Ez aTovább
Feladatok: 1. Legyen adott az a következő lineáris függvény: l(x)=0.5⋅x . Ábrázoljuk és számítsuk ki a függvény alatti területet a [2,6] intervallumon! Megoldás: A lineáris függvény alatti terület ezen az intervallumon egy trapéz. Így a területe a trapézokra vonatkozó terület képlettel könyen számítható: Ttrapéz= (1+3)⋅4/2=8 területegység. Persze, a terület kiszámításaTovább
© Copyright 2023; Hajnal István: Matematikusok Arcképcsarnoka | Impresszum | Adatvédelem | Tartalom felhasználás | Kapcsolat | Készült: WordPress / Brigsby by bhe
testreszabott kiszolgálás érdekében a felhasználó számítógépén kis adatcsomagot, ún. sütit (cookie) helyez el a böngésző, és a későbbi látogatás során olvas vissza. Ha a böngésző visszaküld egy korábban elmentett sütit, a sütit kezelő szolgáltatónak lehetősége van összekapcsolni a felhasználó aktuális látogatását a korábbiakkal, de kizárólag a saját tartalma tekintetében.
A bal oldalon található menüpontokon keresztül személyre szabhatod a beállításokat.
A feltétlenül szükséges munkamenet sütiket érdemes minden esetben engedélyezni, hogy az itt eszközölt beállításaidat elmenthessük. Ez a beállítás, kizárólag ezt az adatot tárolja, semmi mást.
Amennyiben ezt nem engedélyezed, akkor nem tudjuk a beállításaidat elmenteni. Ez azt jelenti, hogy minden alkalommal, ha ellátogatsz weboldalunkra, engedélyezned illetve letiltanod kell a sütiket.
Google Analytics
Weboldalunk Google Analytics-et használ, amely olyan anonim adatokat gyűjt mint például az oldalt látogatók száma, a legnépszerűbb bejegyzés stb.
Kérlek, engedélyezd ezt a sütit, ezzel is segítve weboldalunk fejlesztését.
Kérlek, először engedélyezd a feltétlenül szükséges munkamenet sütiket, hogy el tudjuk menteni a beállításaidat!
További részletes információkat adatkezelési irányelveinkről az Adatkezelési Tájékoztatóban olvashatsz.