A határozott integrál tulajdonságai

A határozott integrál definíciója:

Az [a; b] intervallumon korlátos „f” függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és felső összeg közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük az „f” függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. (Riemann-féle integrál). \( lim_{ nx \to \infty }s_{n}=\lim_{ nx \to \infty }S_{n}=I=\int_{a}^{b}{f(x)dx } . \)

​Jelölés:\( \int_{a}^{b}{f(x)dx } \). Kiolvasva: „Integrál „a”-tól „b”-ig f(x) dx.

A határozott integrál létezésének feltételeiről:

 1. Ha egy f(x) függvény egy [a;b] intervallumon folytonos, akkor ott integrálható.

A folytonosság elégséges, de nem szükséges feltétel.

2. Ha egy f(x) függvény integrálható egy adott [a;b] intervallumon, akkor korlátos.

A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. Van olyan függvény, amelyik korlátos, de nem integrálható.
Ilyen például az un. „Dirichlet-féle” függvény.

3. Ha egy f(x) függvény egy [a;b] intervallumon monoton, akkor ott integrálható.

A monotonitás elégséges, de nem szükséges feltétel.

A definíció közvetlen következménye a konstans függvény integrálása: ​\( \int_{a}^{b}{c \; dx }=c·(b-a) \)​.

 A határozott integrál tulajdonságai:

1. Ha egy f(x) függvény az [a;b] intervallumon integrálható, akkor az [a;b] intervallum bármelyik részintervallumán is integrálható.

2. Ha egy f(x) függvény az [a;b] intervallumon integrálható és a<c<b, akkor: ​\( \int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a}^{c}{f(x)}dx+\int_{c}^{b}{f(x)}dx \)​.

3. Ha egy f(x) függvény az [a;b] intervallumon integrálható és c∈, akkor: ​\( \int_{a}^{b}{c·f(x)dx }=c·\int_{a}^{b}{f(x)dx } \)​.
Az f(x) függvény „c” állandóval való szorzatának integrálja egyenlő az f(x) függvény integráljának „c”-szeresével. Azaz a konstans „kiemelhető”.

4. Ha egy f(x) és a g(x) függvények az [a;b] intervallumon integrálható, akkor az f(x)±g(x) függvény is integrálható itt és: ​\( \int_{a}^{b}{ \left(f(x)±g(x)\right) }dx=\int_{a}^{b}{f(x) }dx±\int_{a}^{b}{g(x) dx} \)​. Tagonkénti integrálás.

5. Ha egy f(x) és a g(x) függvények az [a;b] intervallumon integrálható és f(x)≥ g(x) minden x∈[a; b]-re, akkor: ​\( \int_{a}^{b}{f(x)}dx≥\int_{a}^{b}{g(x)}dx \)​.

6. Bebizonyítható, hogy ha egy f(x) függvény az [a;b] intervallumon integrálható, akkor: ​\( \int_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int_{b}^{a}{f(x)}dx \). Az integrálási határok felcserélése esetén az eredmény az értéke az eredeti érték ellentettje lesz

Ezek a tulajdonságok a határozott integrál definíciójából közvetlenül következnek.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.