A valószínűségszámítás a matematika egy viszonylag új, dinamikusan fejlődő  területe. Mindenki tudja, hogy nagyon kicsi az esélye annak, hogy 5-ös találatunk legyen az 5-ös lottón.       A futball mérkőzés kezdetén a bíró és a két csapatkapitány pénzfeldobással dönti el a pályaválasztást. Hiszen itt csak két eset (esemény) lehetTovább

A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel foglalkozik, amelyek többször is megismétlődhetnek, de amelyek kimenetelét előre nem lehet megmondani. A véletlenszerű jelenségeket és megfigyelésüket kísérletnek nevezzük. Kísérlet tehát például a fenti példákban a kockadobás, a pénzfeldobás, a céltáblára lövés, a lottó húzás. Egy elemi eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik vagy nem. A kísérletek kimeneteleit egyelemű halmazokkéntTovább

A valószínűségi kisérletekben bekövetkező eseményekkel műveleteket lehet végezni. Definíció: Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor vagy az A vagy a B esemény bekövetkezik. (Legalább az egyik bekövetkezik, azaz ez megengedő vagy.) Jele: A+B. Tétel: Minden esemény előállítható elemi események összegeként. Definíció: TetszőlegesTovább

Kockadobásos kísérlet Ha egy társasjátékban dobókockával dobunk, számunkra természetes, hogy ugyanakkora az esélye (“valószínűsége”) a 6-osnak, mint az 1-esnek, illetve bármelyik számnak. Feltételezzük ugyanis, hogy a kocka szabályos, anyaga homogén, így egyik oldala sem kitüntetett. Ha a játék közben mégsem ezt tapasztalnánk, felmerülne bennünk, hogy a dobókockával valami nincs rendben.Tovább

Bevezető feladatok: 1. Példa: Dobjunk fel három darab pénzérmét. Milyen elemi események fordulhatnak elő? Mi az esélye annak, hogy egy fej és két írás lesz felül a dobás után? Megoldás: Minden érménél két lehetőség van: fej vagy írás. Három érme esetén ez 2⋅2⋅2=23=8 elemi eseményt jelent. Ezek: {F,F,F}; {F,F,I}; {F,I,F};{I,F,F}; {F,I,I}; {I,F,I};{I,I,F}; {I,I,I}. Látható,Tovább

Bevezető példa: Egy célba lövő egy 50 cm oldalú négyzet alakú táblára lő. Feltételezzük, hogy lövései egyenlő eséllyel érik el a céltábla bármely pontját. Mi a valószínűsége annak, hogy a tábla közepén lévő 10 cm átmérőjű körbe talál? (Készüljünk az érettségire matematikából közép-, emelt szinten. (MK-2947-3, 284. oldal) Megoldás: AzTovább

1. Példa: A mellékelt ábrán (Galton deszkán) egy golyó gurul lefelé. Minden akadálynál ugyanakkora (0.5) valószínűséggel megy jobbra vagy balra. Ezért minden út egyformán valószínű. A pályán 5 szinten vannak akadályok (elágazási pontok) és a végén 6 rekesz [0;5] valamelyikébe  érkezik meg a golyó. Mi a valószínűsége annak,  hogy aTovább

Hasonlítsuk össze az alábbi két faladatot! Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Öt különböző felméréshez egy-egy tanulót kisorsolnak az osztályból úgy, hogy egy tanulót többször is kisorsolhatnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer  fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából? Egy 25 fősTovább

Kísérlet: 1 db dobókockával egyszer dobunk. B1 esemény:{párosat dobunk}, B2 esemény {páratlant dobunk}. Nyilvánvaló, hogy  B1⋅B2={}=∅. (Üres halmaz.) Ugyanakkor: B1+B2 =H (Az eseménytér). A valószínűségszámítási axiómákból következik, hogy P(H)=1=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2). Definíció: A {B1, B2,…,Bn } események halmazát teljes eseményrendszernek nevezzük, ha ezen események bármelyik Bi eseménye részhalmaza a az eseménytérnek (Bi⊆H, i=1,2,..n) ésTovább