Visszatevés nélküli mintavétel

Hasonlítsuk össze az alábbi két faladatot!

  1. Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Öt különböző felméréshez egy-egy tanulót kisorsolnak az osztályból úgy, hogy egy tanulót többször is kisorsolhatnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer  fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából?
  2. Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Egy felméréshez öt tanulót kisorsolnak az osztályból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából? 

Az első feladatban egy tanulót többször is kisorsolhatnak (egy tanuló több felmérésben is részt vehet) ezért ezt feladatot a visszatevéses modell segítségével oldhatjuk meg.

A második esetben egy tanuló csak egy felmérésben vehet részt. A felméréshez a tanulókat egyszerre vagy egymás után (visszatevés nélkül) választják ki.

Eredmények:

  1. Az első esetben egy jeles tanulót ​\( \frac{8}{25} \)​ valószínűséggel választhatjuk ki, míg nem jeles tanulót  ​\( \frac{17}{25} \)​valószínűséggel választunk. A két jeles tanulót ​\( \binom{5}{2} \)​  féleképpen tudjuk a felmérésekhez rendelni.
    Így a valószínűség: ​\( \binom{5}{2}·\left(\frac{18}{25} \right)^2·\left(\frac{17}{25} \right) ^3≈0.322 \)​. Ez 32,2%.
  2. A második esetben 5 tanuló kiválasztása ​\( \binom{25}{5} \)​  féleképpen lehetséges. Ez 53130, ez az összes eset száma.
    A két jeles tanulót a 8 közül ​\( \binom{8}{2}=28 \)​, a 3 nem jeles tanuló pedig ​\( \binom{17}{3}=680 \)​féleképpen tudjuk kijelölni. Tehát 2 jeles és 3 nem jeles kiválasztása ​\( \binom{8}{2}⋅\binom{17}{3} \) módon lehet. Ez 19040, a kedvező esetek száma.
    Így a valószínűség: ​\( \frac{\binom{8}{2}·\binom{17}{3}}{\binom{25}{5}}=\frac{28·680}{53130}=\frac{19040}{53130}≈0.36 \)​. Ez tehát 36%.

3. Feladat:

Egy kalapban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Egymás után kihúzunk 5 golyót úgy, hogy minden húzás után nem tesszük vissza a kihúzott golyót. Mi a valószínűsége, hogy három darab piros golyót húztunk ki?

Megoldás:

18 golyónk van. Ebből 5 -t kiválasztani (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) ​\( \binom{18}{5}=8568 \)​ féleképpen lehetséges. (Összes eset)

A 10 darab piros golyóból hármat ​\( \binom{10}{3}=120 \)​ módon, míg a 8 darab kék színűből 2-t ​\( \binom{8}{2}=28 \)​ féleképpen lehet kihúzni.

Tehát a keresett valószínűség:

\( \frac{\binom{10}{3}·\binom{8}{2}}{\binom{18}{5}}=\frac{120·28}{8568}≈0.39 \)

A visszatevés nélküli mintavétel – általában:

Legyen „N” elemünk, amelyből „M” elemet megkülönböztetünk a többi „N-M” elemtől. Ezután kiválasztunk az „N” elemből „n” darabot visszatevés nélkül.
Annak a valószínűsége, hogy ekkor „k” darab lesz az „M” tulajdonságúból:

A visszatevés nélküli mintavételnél “k” darab kiválasztása estén a a valószínűség: ​

\( \frac{\binom{M}{k}·\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)​.

A visszatevés nélküli mintavétel esetei a hipergeometrikus eloszlásra vezetnek.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.