Hasonlítsuk össze az alábbi két faladatot!
- Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Öt különböző felméréshez egy-egy tanulót kisorsolnak az osztályból úgy, hogy egy tanulót többször is kisorsolhatnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából?
- Egy 25 fős osztályban 8 tanulónak van jelese matematikából. Egy felméréshez öt tanulót kisorsolnak az osztályból. Mennyi a valószínűsége annak, hogy pontosan 2-szer fordul elő a kisorsoltak között olyan, akinek jelese van matematikából?
Az első feladatban egy tanulót többször is kisorsolhatnak (egy tanuló több felmérésben is részt vehet) ezért ezt feladatot a visszatevéses modell segítségével oldhatjuk meg.
A második esetben egy tanuló csak egy felmérésben vehet részt. A felméréshez a tanulókat egyszerre vagy egymás után (visszatevés nélkül) választják ki.
Eredmények:
- Az első esetben egy jeles tanulót \( \frac{8}{25} \) valószínűséggel választhatjuk ki, míg nem jeles tanulót \( \frac{17}{25} \)valószínűséggel választunk. A két jeles tanulót \( \binom{5}{2} \) féleképpen tudjuk a felmérésekhez rendelni.
Így a valószínűség: \( \binom{5}{2}·\left(\frac{8}{25} \right)^2·\left(\frac{17}{25} \right) ^3≈0.4735 \). Ez kb. 47,3%. - A második esetben 5 tanuló kiválasztása \( \binom{25}{5} \) féleképpen lehetséges. Ez 53130, ez az összes eset száma.
A két jeles tanulót a 8 közül \( \binom{8}{2}=28 \), a 3 nem jeles tanuló pedig \( \binom{17}{3}=680 \)féleképpen tudjuk kijelölni. Tehát 2 jeles és 3 nem jeles kiválasztása \( \binom{8}{2}⋅\binom{17}{3} \) módon lehet. Ez 19040, a kedvező esetek száma.
Így a valószínűség: \( \frac{\binom{8}{2}·\binom{17}{3}}{\binom{25}{5}}=\frac{28·680}{53130}=\frac{19040}{53130}≈0.36 \). Ez tehát 36%.
3. Feladat:
Egy kalapban 10 darab piros és 8 darab kék golyó van. Egymás után kihúzunk 5 golyót úgy, hogy minden húzás után nem tesszük vissza a kihúzott golyót. Mi a valószínűsége, hogy három darab piros golyót húztunk ki?
Megoldás:
18 golyónk van. Ebből 5 -t kiválasztani (egyszerre vagy egymás után visszatevés nélkül) \( \binom{18}{5}=8568 \) féleképpen lehetséges. (Összes eset)
A 10 darab piros golyóból hármat \( \binom{10}{3}=120 \) módon, míg a 8 darab kék színűből 2-t \( \binom{8}{2}=28 \) féleképpen lehet kihúzni.
Tehát a keresett valószínűség:
\( \frac{\binom{10}{3}·\binom{8}{2}}{\binom{18}{5}}=\frac{120·28}{8568}≈0.39 \)
A visszatevés nélküli mintavétel – általában:
Legyen „N” elemünk, amelyből „M” elemet megkülönböztetünk a többi „N-M” elemtől. Ezután kiválasztunk az „N” elemből „n” darabot visszatevés nélkül.
Annak a valószínűsége, hogy ekkor „k” darab lesz az „M” tulajdonságúból:
A visszatevés nélküli mintavételnél „k” darab kiválasztása estén a a valószínűség:
\( \frac{\binom{M}{k}·\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \).
A visszatevés nélküli mintavétel esetei a hipergeometrikus eloszlásra vezetnek.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.