Feltételes valószínűség

1. Feladat

Egy urnában 10 piros és 8 kék golyó van. Egymás után két golyót kihúzunk az urnából.
Mennyi a valószínűsége annak, hogy a másodiknak kihúzott golyó kék  feltéve, hogy az elsőként kihúzott golyó piros?

NT-14311 203. oldal

Megoldás:

Legyen „B” esemény: {Az elsőnek húzott golyó piros.}

A ”B” esemény valószínűsége: ​\( P(B)=\frac{10}{18}≈0.56 \)​.

Legyen „A” esemény: {A másodiknak húzott golyó kék.}

Az “A” esemény kétféleképpen fordulhat elő attól függően, hogy elsőre mit húztunk.
Ennek valószínűsége tehát: ​\( P(A)=\frac{10}{18}·\frac{8}{17}+\frac{8}{18}·\frac{7}{17}=\frac{136}{306}≈0.44 \)​.

Az A⋅B esemény azt jelenti, hogy mind az A és mind a B esemény is bekövetkezett.
Ennek valószínűsége: ​\( P(A·B)=\frac{10}{18}·\frac{8}{17}=\frac{40}{153}≈0,26 \)​.

Sokszor hasznos lehet a folyamatot gráffal szemléltetni.
Készítsük el a folyamat fagráfját és írjuk oda az egyes lépések valószínűségeit!

Képezzük a P(AB)/P(B) hányadost:  ​\( \frac{P(A·B)}{P(B)}=\left(\frac{10}{18}·\frac{8}{17} \right):\frac{10}{18} ≈0.47 \)​.

A ​\( \frac{P(A·B)}{P(B)} \)​ hányados annak a valószínűsége, hogy a másodiknak kihúzott golyó kék, feltéve, hogy az elsőként kihúzott golyó piros. Ezt a valószínűséget úgy fogalmazhatjuk meg, hogy ez az érték az „A” esemény bekövetkezésének az esélye feltéve, hogy a „B” esemény is bekövetkezik.

2. Feladat

Legyen az „A” esemény az, hogy két kockával dobott számok összege legfeljebb 8, „B” pedig az az esemény, hogy a dobott számok összege legalább 5. Számítsuk ki a \( \frac{P(A·B)}{P(B)} \)​ hányados értékét!

MX-350 176. old.

Megoldás:

Az “A” esemény 20 esetben következik be. ( (Megjegyzés: Az ​\( \overline{A} \)​  esemény: a dobott számok összege nagyobb mint 8. Ez 10 esetben fordul elő.)
Mivel az összes esetek száma 36, ezért az “A” esemény valószínűsége: ​\( P(A)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}≈0,56. \)

A “B” esemény akkor következik be, ha a dobott számok összege 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 vagy 12.
Ez az esemény 30 esetben következik be. (Megjegyzés: A ​\( \overline{B} \)​  esemény: a dobott számok összege kisebb mint 5, ez 6 esetben fordul elő).
Mivel az összes esetek száma 36, ezért a B esemény valószínűsége: ​\( P(B)=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}≈0,83. \)​.

Az A⋅B esemény akkor következik be, h a dobott számok összege   5; 6; 7; 8.

Ez 20 esetben következik be. Mert:

Dobott számok összege 5: (1;4), (2;3), 4;1), (3;2). Tehát 4 ilyen eset van.
Dobott számok összege 6: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2) és (4;1). Tehát 5 ilyen eset van.
Dobott számok összege 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5,2) és (6;1). Tehát 6 ilyen eset van.
Dobott számok összege 8: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), és (6,2). Tehát 5 ilyen eset van.

Mivel két kockával dobva, összesen 36 lehetőség van, ezért az A⋅B esemény valószínűsége: ​\( P(A·B)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}≈0.56. \)​.

Így a \( \frac{P(A·B)}{P(B)} \)​ hányados értéke: ​\( \frac{P(A·B)}{P(B)}=\frac{20}{36}:\frac{30}{36}=\frac{20}{30}≈0.67 \)

Ez a hányados azt fejezi ki, hogy 20 esetben fordul elő, hogy az összeg legalább 5 és legfeljebb 8, de az összes lehetőség most nem 36, hanem csak 30, a “B” esemény bekövetkezésének a száma.

Lásd az alábbi táblázatot. Vastagítva a kedvező esetek. Felülhúzás jelöli azokat az eseteket, amikor a “B” esemény nem következik be.

1 2 3 4 5

6

1

\( \overline{2} \) \( \overline{3} \) \( \overline{4} \) 5 6

7

2

\( \overline{3} \) \( \overline{4} \) 5 6 7

8

3

\( \overline{4} \) 5 6 7 8

9

4

5 6 7 8 9

10

5

6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11

12

Így elmondhatjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy két kockával dobott számok összege legfeljebb 8, feltételezve hogy a dobott számok összege legalább 5: \( \frac{P(A·B)}{P(B)}=\frac{20}{36}:\frac{30}{36}=\frac{20}{30}≈0.67 \)

A  ​\( \frac{P(A·B)}{P(B)} \)​ hányados az “A” esemény bekövetkezésének a valószínűségét adja, feltételezve, hogy a “B” esemény bekövetkezett.

Definíció:

Legyen „H” egy eseménytér, „B” pedig egy olyan esemény, amelyre igaz, hogy P(B)≠0. Bármely „A” esemény „B” feltétel melletti feltételes valószínűsége: ​\( P(A|B)=\frac{P(A·B)}{P(B)} \)​.

A  ​\( P(A|B) \)​ az “A” eseménynek “B” eseményre vonatkoztatott valószínűségét jelöli.

Természetesen általában  ​\( P(A|B) \)≠\( P(B|A) \)​ .

A fenti definíciót átrendezve a  P(A⋅B)=P(A|B)⋅P(B) szorzat alakot kapjuk.

Belátható, hogy a feltételes valószínűségre teljesülnek az alábbi relációk:

  1. 0≤P(A|B)≤1
  2. P(B|B)=1
  3. P((A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C)-P((AB)|C)

Amennyiben “A” és “B” egymást kizáró események, azaz ha P(AB)=0, akkor P((A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C).

A feltételes valószínűség összefüggését szorzat alakba írva:

  1. P(A⋅B)=P(A|B)⋅P(B)
  2. P(B⋅A)=P(B|A)⋅P(A)

Mivel P(A⋅B)=P(B⋅A), ezért a fenti két összefüggésből kapjuk az un. szorzási szabályt:

 P(A|B)⋅P(B)=P(B|A)⋅P(A).

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.