Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ+! a(x)=1.5 v(x)=1.5⋅x+2.5 s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x Általánosabban: a(x)=a v(x)=a⋅x+k0 s(x)=ax2+k0⋅x Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás) A gyorsulás időben állandó: a(t)=a. Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k0. Út az idő függvényében: s(t)=at2+k0⋅t. Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között? (v(t))’= a(t)Tovább

Definíció: Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja). A fenti definíció közvetlen következménye: Tétel: (az integrálszámítás alaptétele) Ha F(x) függvény primitív függvényeTovább

Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. A körbe írt és a köré kör írt négyzetekkel próbálták a kör területét behatárolni. Ma már közismert, hogy a kör területe=r2π és az is közismert, hogy a π egy irracionálisTovább

A határozott integrál szemléletes fogalma Tekintsük egy adott intervallumon korlátos f:[a;b]→ℝ;f(x) függvényt! Osszuk fel az [a;b] intervallumot „n” részre! Az nem lényeges, hogy egyenlő részek legyenek. (a=x0; x1; x2; …;xn=b). A parabolikus háromszöghöz hasonlóan fogunk eljárni, a kétoldali közelítés módszerét fogjuk alkalmazni. Képezzük az adott beosztáshoz tartozó alsó közelítő összegeket:​Tovább

A határozott integrál definíciója: Az [a; b] intervallumon korlátos „f” függvény integrálható, ha csak egyetlen olyan szám található, amely az összes alsó és felső összeg közé esik. Ezt az egyetlen számot nevezzük az „f” függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. (Riemann-féle integrál). ​\( lim_{ nx \to \infty }s_{n}=\lim_{ nx \toTovább

Feladatok 1. Határozzuk meg az f(x)=0.5x + 3 függvény primitív függvényét! Megoldás: F(x)=0.25×2+3x+c, azaz ​\( F(x)=\int{ }\left\{0.5x+3 \right\}dx =0.25x^{2}+3x+c \)​ Ellenőrzés: F’(x)={0.25×2+3x+c}’=0.5x + 3. 2.Ábrázoljuk a következő függvényt: f(x)=0.5x + 3! A grafikon segítségével számítsuk ki a [0;4] intervallumon a függvény alatti trapéz területét! Megoldás: A trapéz párhuzamos oldalai 3 és 5Tovább

Bevezető feladat: Vizsgáljuk meg az ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \)​ x∈ℝ|x≠3 függvényt. Az a2-b2=(a+b)⋅(a-b) azonosság segítségével írjuk fel a számlálót szorzat alakban:  ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \). Egyszerűsítés után a megadott függvény: f(x)=x+3; x∈ℝ|x≠3. Ez a függvény egy egyszerű lineáris függvény, amely azonban x0=3 helyen nincs értelmezve. A függvény grafikonja egy „lyukas” egyenes az Tovább

Bevezetés A középiskolai tanulmányok eddigi –középszintű – szintjén a függvények folytonosságát nem definiáltuk. A függvény grafikonjára támaszkodva egy szemléletes kép alapján fogadtuk el valamely függvényről, hogy folytonos vagy sem. Nézzük a következő függvényeket: Az f(x) függvény grafikonja alapján úgy gondoljuk, hogy az f(x) másodfokú függvény folytonos. De az f(x) függvényTovább

Határozzuk meg a következő határértéket: ​\( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x} \)​! Mivel a sin⁡(x) páratlan függvény, azaz sin⁡(-x)=-sin⁡(x), ezért az ​​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​ függvény páros, hiszen: ​\( f(-x)=\frac{sin(-x)}{-x} \)​ =​\( \frac{-sin(x)}{-x} \)​=​\( \frac{sin(x)}{x} \)​=f(x). Ebből az következik, hogy elegendő a csak az x>0 estben vizsgálni a függvényt. Vizsgáljuk meg a függvényértékekTovább

Differenciahányados Tekintsük az y = x2  egyenletű parabolát és jelöljük ki rajta a P0(2;4) pontot. Írjuk fel a parabolának ebbe a pontbajába húzható érintőjének egyenletét. Ehhez felhasználjuk, hogy az érintőnek egy közös pontja van a parabolával. Mivel az egyenes egy pontját – a parabola P0(2;4) pontját – ismerjük, ezért a feladat azTovább