Az f(x) = x2 függvény mindenütt folytonos és minden pontban differenciálható. Igaz-e, hogy minden folytonos függvény differenciálható? Határozzuk meg az f(x) = |x| függvény deriváltját az x0 = 0 pontban! Képezzük a differenciahányadost az x0=0 pontban! ​\( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{|x|-0}{x-0}=\frac{|x|}{x} \)​. Képezzük a differenciahányados jobboldali határértékét: ​\( \lim_{ x^{+} \to 0}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{ x^{+} \toTovább

1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla. Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén ​\( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla. 2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét! Ez három lépésben történik: 1.  A differenciahányados felírása 2. A differenciálhányados kiszámítása.Tovább

1. Függvény konstans-szorosának deriváltja Tétel: Ha f (x) függvény differenciálható egy x0 pontban akkor a c f(x) függvény is differenciálható ebben az x0 pontban és (cf(x0))’ =c f’(x0). Röviden: (cf(x))’ =c f’(x). Másképp: Egy függvény konstans-szorosának deriváltja a függvény deriváltjának konstans-szorosa. 2. Két függvény összegének és különbségének deriváltja Feladat: Határozzuk megTovább

1. Szinusz függvény deriváltja: Határozzuk meg az f(x) = sin(x) függvény derivált függvényét! Ez most is három lépésben történik. 1.1 A differenciahányados felírása 1.2 A differenciálhányados kiszámítása. 1.3 A derivált függvény meghatározása 1.1 A differenciahányados felírása: ​\( \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0} \)​ . (x≠x0) Két szög szinuszának különbségét szorzattá alakítása összefüggés:​\( sinα-sinβ=2·sin\frac{α-β}{2}·cos\frac{α+β}{2}. \)​ EztTovább

Függvény Derivált függvénye Konstans függvény: k(x) = c k’(x) =0 Elsőfokú függvény: l(x)= mx +b l’(x) =m Másodfokú függvény: m(x) = x2 m’(x) =2x m(x) = ax2+bx+c m’(x) =2x+b Hatvány függvény: h(x) = xn h'(x)=n⋅xn-1 Négyzetgyök függvény: ​\( g(x)=\sqrt{x} \)​ ​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​ N-edik gyök függvény: ​\( n(x)=\sqrt[n]{x} \)​ ​\(Tovább

Egy differenciálható  f(x) függvény  f'(x) deriváltfüggvénye  egy adott pontban az  f(x) függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét (iránytangensét) adja. Egy differenciálható függvény jellemzését a derivált függvény a következő szempontok vizsgálatánál segíti: A függvény menete. A függvény szélsőértéke (szélsőértékei). A függvény görbülete (Konvex, konkáv). A függvény inflexiós pontja (pontjai). 1. FüggvényTovább

A görbék hajlásszöge fogalmának tisztázása előtt érdemes visszatérni a szög fogalmához. Szögtartományt két – egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Egyenesek hajlásszöge az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetétől függ. Párhuzamos illetve egybeeső egyenesek hajlásszöge 0. Metsző egyenesek esetén a közös kezdőpontból kiinduló félegyenesek által határolt nem nagyobb szögtartományt tekintjük az egyenesekTovább

Feladat Ábrázoljuk az f(x)=2x+3 függvényt és határozzuk meg az  [1; 4] intervallumon a függvény alatti terület értékét! Megoldás: A függvény grafikonja: Ez egy lineáris függvény. Az “x” tengely [1,4] intervalluma és a függvény közötti síkidom egy trapéz, amelynek párhuzamos oldalai: f(1)=5, f(4)=11 és a két párhuzamos oldal távolsága az intervallumTovább

A határozott integrál illetve a Newton-Leibniz formula segítségével meg tudjuk határozni egy integrálható függvény és az “x” tengely által közbezárt síkidom területét. Ez az alapja annak is, hogy két függvény által közrefogott terület értékét is k tudjuk számítani. Példa: Határozzuk meg az g: ℝ\ℝ–→ℝ, g(x)=​\( \sqrt{2x} \)​ gyökfüggvény és azTovább