Bevezető feladat: Vizsgáljuk meg az ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3} \)​ x∈ℝ|x≠3 függvényt. Az a2-b2=(a+b)⋅(a-b) azonosság segítségével írjuk fel a számlálót szorzat alakban:  ​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \). Egyszerűsítés után a megadott függvény: f(x)=x+3; x∈ℝ|x≠3. Ez a függvény egy egyszerű lineáris függvény, amely azonban x0=3 helyen nincs értelmezve. A függvény grafikonja egy „lyukas” egyenes az Tovább

Bevezetés A középiskolai tanulmányok eddigi –középszintű – szintjén a függvények folytonosságát nem definiáltuk. A függvény grafikonjára támaszkodva egy szemléletes kép alapján fogadtuk el valamely függvényről, hogy folytonos vagy sem. Nézzük a következő függvényeket: Az f(x) függvény grafikonja alapján úgy gondoljuk, hogy az f(x) másodfokú függvény folytonos. De az f(x) függvényTovább

Határozzuk meg a következő határértéket: ​\( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x} \)​! Mivel a sin⁡(x) páratlan függvény, azaz sin⁡(-x)=-sin⁡(x), ezért az ​​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​ függvény páros, hiszen: ​\( f(-x)=\frac{sin(-x)}{-x} \)​ =​\( \frac{-sin(x)}{-x} \)​=​\( \frac{sin(x)}{x} \)​=f(x). Ebből az következik, hogy elegendő a csak az x>0 estben vizsgálni a függvényt. Vizsgáljuk meg a függvényértékekTovább

Differenciahányados Tekintsük az y = x2  egyenletű parabolát és jelöljük ki rajta a P0(2;4) pontot. Írjuk fel a parabolának ebbe a pontbajába húzható érintőjének egyenletét. Ehhez felhasználjuk, hogy az érintőnek egy közös pontja van a parabolával. Mivel az egyenes egy pontját – a parabola P0(2;4) pontját – ismerjük, ezért a feladat azTovább

Az f(x) = x2 függvény mindenütt folytonos és minden pontban differenciálható. Igaz-e, hogy minden folytonos függvény differenciálható? Határozzuk meg az f(x) = |x| függvény deriváltját az x0 = 0 pontban! Képezzük a differenciahányadost az x0=0 pontban! ​\( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{|x|-0}{x-0}=\frac{|x|}{x} \)​. Képezzük a differenciahányados jobboldali határértékét: ​\( \lim_{ x^{+} \to 0}\frac{|x|-0}{x-0}=\lim_{ x^{+} \toTovább

1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla. Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén ​\( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla. 2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét! Ez három lépésben történik: 1.  A differenciahányados felírása 2. A differenciálhányados kiszámítása.Tovább

1. Függvény konstans-szorosának deriváltja Tétel: Ha f (x) függvény differenciálható egy x0 pontban akkor a c f(x) függvény is differenciálható ebben az x0 pontban és (cf(x0))’ =c f’(x0). Röviden: (cf(x))’ =c f’(x). Másképp: Egy függvény konstans-szorosának deriváltja a függvény deriváltjának konstans-szorosa. 2. Két függvény összegének és különbségének deriváltja Feladat: Határozzuk megTovább

1. Szinusz függvény deriváltja: Határozzuk meg az f(x) = sin(x) függvény derivált függvényét! Ez most is három lépésben történik. 1.1 A differenciahányados felírása 1.2 A differenciálhányados kiszámítása. 1.3 A derivált függvény meghatározása 1.1 A differenciahányados felírása: ​\( \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0} \)​ . (x≠x0) Két szög szinuszának különbségét szorzattá alakítása összefüggés:​\( sinα-sinβ=2·sin\frac{α-β}{2}·cos\frac{α+β}{2}. \)​ EztTovább

Függvény Derivált függvénye Konstans függvény: k(x) = c k’(x) =0 Elsőfokú függvény: l(x)= mx +b l’(x) =m Másodfokú függvény: m(x) = x2 m’(x) =2x m(x) = ax2+bx+c m’(x) =2x+b Hatvány függvény: h(x) = xn h'(x)=n⋅xn-1 Négyzetgyök függvény: ​\( g(x)=\sqrt{x} \)​ ​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​ N-edik gyök függvény: ​\( n(x)=\sqrt[n]{x} \)​ ​\(Tovább

Egy differenciálható  f(x) függvény  f'(x) deriváltfüggvénye  egy adott pontban az  f(x) függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét (iránytangensét) adja. Egy differenciálható függvény jellemzését a derivált függvény a következő szempontok vizsgálatánál segíti: A függvény menete. A függvény szélsőértéke (szélsőértékei). A függvény görbülete (Konvex, konkáv). A függvény inflexiós pontja (pontjai). 1. FüggvényTovább