Trigonometrikus függvények deriváltjai

1. Szinusz függvény deriváltja:

Határozzuk meg az f(x) = sin(x) függvény derivált függvényét!

Ez most is három lépésben történik.

1.1 A differenciahányados felírása
1.2 A differenciálhányados kiszámítása.
1.3 A derivált függvény meghatározása

1.1 A differenciahányados felírása: ​\( \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0} \)​ . (x≠x0)

Két szög szinuszának különbségét szorzattá alakítása összefüggés:​\( sinα-sinβ=2·sin\frac{α-β}{2}·cos\frac{α+β}{2}. \)

Ezt alkalmazva a differenciahányadosra:

\[ \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0}=\frac{2sin\frac{x-x_0}{2}·cos\frac{x+x_0}{2}}{x-x_0}=\frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·cos\frac{x-x_0}{2} \].

1.2 A differenciálhányados kiszámítása.

Felhasználva a függvények határértékénél tanult tételt, miszerint: ha az x0 pontban ​\( \lim_{ x \to x_0}f(x) =A \)​ és  ​\( \lim_{ x \to x_0}g(x) =B \),  akkor ​\( \lim_{ x \to x_0}\left [f(x)·g(x) \right ] =A·B \)​.

Ezt alkalmazva és tudva, hogy ​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​, ezért: ​

\[ \lim_{ x \to x_0}\left [ \frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·cos\frac{x-x_0}{2}\right ] =\lim_{ x \to x_0}\frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·\lim_{ x \to x_0 }cos\frac{x-x_0}{2}=1·cos(x_0) . \]

1.3  A derivált függvény meghatározása

Azt kaptuk tehát, hogy a sin(x) függvény minden pontban differenciálható és deriváltja: (sin(x))’=cos(x).

2. Koszinusz függvény deriváltja

Bizonyítás nélkül:(cos(x))’=-sin(x).

3. Tangens függvény deriváltja

Bizonyítás nélkül: \( \left( tg(x) \right)’=\frac{1}{cos^2(x)} \)​.

Feladat

Határozzuk mg az f:R→R:f(x)=sin(2x) függvény deriváltját!

Megoldás:

Mivel sin(2x) = 2sin(x)cos(x), ezért alkalmazhatjuk a szorzatfüggvény deriválási szabályát: (sin(2x)’=(2sin(x)cos(x))’=(2sin(x))’ cos(x)+2sin(x)cos(x)’.

Így tehát: (sin(2x)’= 2cos(x)cos(x)+2sin(x)(-sin(x))=2[cos2x-sin2(x)]=2cos(2x).

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.