1. Szinusz függvény deriváltja:
Határozzuk meg az f(x) = sin(x) függvény derivált függvényét!
Ez most is három lépésben történik.
1.1 A differenciahányados felírása
1.2 A differenciálhányados kiszámítása.
1.3 A derivált függvény meghatározása
1.1 A differenciahányados felírása: \( \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0} \) . (x≠x0)
Két szög szinuszának különbségét szorzattá alakítása összefüggés:\( sinα-sinβ=2·sin\frac{α-β}{2}·cos\frac{α+β}{2}. \)
Ezt alkalmazva a differenciahányadosra:
\[ \frac{sin(x)-sin(x_0)}{x-x_0}=\frac{2sin\frac{x-x_0}{2}·cos\frac{x+x_0}{2}}{x-x_0}=\frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·cos\frac{x+x_0}{2} \].
1.2 A differenciálhányados kiszámítása.
Felhasználva a függvények határértékénél tanult tételt, miszerint: ha az x0 pontban \( \lim_{ x \to x_0}f(x) =A \) és \( \lim_{ x \to x_0}g(x) =B \), akkor \( \lim_{ x \to x_0}\left [f(x)·g(x) \right ] =A·B \).
Ezt alkalmazva és tudva, hogy \( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \), ezért:
\[ \lim_{ x \to x_0}\left [ \frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·cos\frac{x-x_0}{2}\right ] =\lim_{ x \to x_0}\frac{sin\frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}·\lim_{ x \to x_0 }cos\frac{x+x_0}{2}=1·cos(x_0) . \]
1.3 A derivált függvény meghatározása
Azt kaptuk tehát, hogy a sin(x) függvény minden pontban differenciálható és deriváltja: (sin(x))’=cos(x).
2. Koszinusz függvény deriváltja
Bizonyítás nélkül:(cos(x))’=-sin(x).
3. Tangens függvény deriváltja
Bizonyítás nélkül: \( \left( tg(x) \right)’=\frac{1}{cos^2(x)} \).
Feladat
Határozzuk mg az f:R→R:f(x)=sin(2x) függvény deriváltját!
Megoldás:
Mivel sin(2x) = 2sin(x)cos(x), ezért alkalmazhatjuk a szorzatfüggvény deriválási szabályát: (sin(2x)’=(2sin(x)cos(x))’=(2sin(x))’ cos(x)+2sin(x)cos(x)’.
Így tehát: (sin(2x)’= 2cos(x)cos(x)+2sin(x)(-sin(x))=2[cos2x-sin2(x)]=2cos(2x).
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.