Szinuszx_per_x

Határozzuk meg a következő határértéket: ​\( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x} \)​!

Mivel a sin⁡(x) páratlan függvény, azaz sin⁡(-x)=-sin⁡(x), ezért az ​​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​ függvény páros, hiszen: ​\( f(-x)=\frac{sin(-x)}{-x} \)​ =​\( \frac{-sin(x)}{-x} \)​=​\( \frac{sin(x)}{x} \)​=f(x).

Ebből az következik, hogy elegendő a csak az x>0 estben vizsgálni a függvényt.

Vizsgáljuk meg a függvényértékek sorozatát! Azt sejtjük, hogy a függvényértékek sorozata közeledik az 1-hez, ha a függvény „x” változója a 0-hoz közeledik.
A következő becslésből indulhatunk el: sin(x)<x<tg(x).

Ennek a becslésnek a belátásában segít a következő ábra. Itt OP=OB=1. A szögfüggvények általános definícióját felhasználva: Ha a BOP szög ívmértéke „x” radián, akkor AP szakasz hossza= sin(x), míg a BP ív hossza = x. Az egységsugarú körhöz a B pontban az OB sugárra merőleges BC szakasz hossza pedig tg(x).

Osszuk végig a fenti sin(x)<x<tg(x) egyenlőtlenséget sin(x)>0-val! A reláció megmarad.

Így ​\( 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{tg(x)}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)} \)​.

Most képezzük az egyes kifejezések reciprokát! Ekkor a relációs jel megfordul. ​\( 1>\frac{sin(x)}{x}>cosx \)​.

Itt azt is beláttuk, hogy a függvény értékkészlete valóban: f(x)∈ℝ|-1<f(x)<1
Tudjuk, hogy a cos(x) függvény folytonos az x0=0 pontban és cos(0) = 1.
Ha tehát bármely x→0-hoz sorozatot veszünk is, a cos(x) függvényértékek sorozata az 1-hez fog tartani, azaz cos(x)→1.

A rendőrszabály alkalmazva: ​\( \lim_{ x \to 0 }\frac{sin(x)}{x}=1 \)​.

Az ​\( f(x)=\frac{sin(x)}{x} \)​ függvény grafikonja:

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.