Hatványfüggvények deriváltja

1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla.

Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén ​\( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla.

2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét!

Ez három lépésben történik:

1.  A differenciahányados felírása
2. A differenciálhányados kiszámítása.
3. A deriváltfüggvény meghatározása

2.1 Differenciahányados felírása

A függvény tetszőleges, de rögzített x0 pontbeli differenciahányadosa:

\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-{x^{3}_0}}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x^2+x·x_0+x^2_0)}{x-x_0}=x^2+x·x_0+x^2_0; \; x≠x_0. \]

2.2 Differenciálhányados kiszámítása

A függvény tetszőleges, de rögzített x0 pontbeli differenciálhányadosa: ​\( f'(x_0)=\lim_{ x \to x_0}(x^2+x·x_0+x^2_0) \)​.
A függvény határértékére vonatkozó tételek szerint:

\[ \lim_{ x \to x_0}(x^2+x·x_0+x^2_0)=\lim_{ x \to x_0}x^2+\lim_{ x \to x_0}x·x_0+\lim_{ x \to x_0}x^2_0=x^2_0+x^2_0+x^2_0=3·x^2_0 .\]

 2.3 A deriváltfüggvény meghatározása

Mivel az x0 tetszőleges (értelmezési tartománybeli) pont volt, ezért: f'(x)=3x2.

Tétel:

Az f(x) = x3 függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=3⋅x2.

Ez a tétel általánosítható:

Tétel:

Az f(x) = xn függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=n⋅xn-1.

3. Következmény

A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő negatív egész szám.

Negatív egész kitevő esetén:

Ha ​\( f(x)=\frac{1}{x} =x^{-1}\)​ ( x≠0), akkor ​\( f'(x)=(x^{-1})’=-1·x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \)​ .
Általánosítva: ​\( f'(x)=\left(\frac{1}{x^n} \right) ‘=(x^{-n})’=-n·x^{-n-1}=-\frac{n}{x^{(n+1)}} .\)

A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő pozitív racionális szám. Így megkapjuk a gyökfüggvények deriváltjait.

Ha ​\( f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \)​ akkor .​\( f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​.
Általánosítva: Ha ​\( f(x)=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p} \)​ , akkor ​\( f'(x)=\left( x^{\frac{p}{q}}\right) ‘=\frac{p}{q}x^{\left(\frac{p}{q}-1\right) }=\frac{p}{q}x^{\frac{p-q}{q}}=\frac{p}{q\sqrt[q]{x^{p-q}}} \)​.

Feladat:

Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény x0=1.5 pontjába húzható érintőjének egyenletét!

Megoldás:

Az érintési pont tehát: E(1.5; 3.375).
Az f(x) = x3 függvény mindenhol deriválható és deriváltfüggvénye: f'(x)=3⋅x2.

A derivált függvény szabályába behelyettesítve az x=1.5 értéket, kapjuk f'(1.5)=3⋅(1.5)2=3⋅2.25=6.75.

Így megkaptuk az f(x) = x3 függvény x0=1.5 pontjába húzható érintőjének a meredekségét: m=6.75.

Az E(1.5; 3.375) ponton áthaladó m=6.75 meredekségű egyenes egyenlete: y-3.375=6.75(x-1.5)=6.75x-6.75.

4. Hatványfüggvények és deriváltjaik

Függvény neve Függvény Derivált függvény
Konstans függvény

k(x)=c

k'(x)=0

Elsőfokú függvény:

l(x)=mx+b

l'(x)=m

Másodfokú függvény:

m(x)=x2

m'(x)=2⋅x
Hatvány függvény: h(x)=xn h'(x)=n⋅xn-1
Négyzetgyök függvény: \( g(x)=\sqrt{x} \) \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
N-edik gyök függvény \( n(x)=\sqrt[n]{x} \) \( n'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \)
Fordított arányosság: \( f(x)=\frac{1}{x} \) \( f'(x)=-\frac{1}{x^2} \)

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.