1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla.
Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén \( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla.
2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét!
Ez három lépésben történik:
1. A differenciahányados felírása
2. A differenciálhányados kiszámítása.
3. A deriváltfüggvény meghatározása
2.1 Differenciahányados felírása
A függvény tetszőleges, de rögzített x0 pontbeli differenciahányadosa:
\[ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{x^3-{x^{3}_0}}{x-x_0}=\frac{(x-x_0)(x^2+x·x_0+x^2_0)}{x-x_0}=x^2+x·x_0+x^2_0; \; x≠x_0. \]
2.2 Differenciálhányados kiszámítása
A függvény tetszőleges, de rögzített x0 pontbeli differenciálhányadosa: \( f'(x_0)=\lim_{ x \to x_0}(x^2+x·x_0+x^2_0) \).
A függvény határértékére vonatkozó tételek szerint:
\[ \lim_{ x \to x_0}(x^2+x·x_0+x^2_0)=\lim_{ x \to x_0}x^2+\lim_{ x \to x_0}x·x_0+\lim_{ x \to x_0}x^2_0=x^2_0+x^2_0+x^2_0=3·x^2_0 .\]
2.3 A deriváltfüggvény meghatározása
Mivel az x0 tetszőleges (értelmezési tartománybeli) pont volt, ezért: f'(x)=3x2.
Tétel:
Az f(x) = x3 függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=3⋅x2.
Ez a tétel általánosítható:
Tétel:
Az f(x) = xn függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=n⋅xn-1.
3. Következmény
A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő negatív egész szám.
Negatív egész kitevő esetén:
Ha \( f(x)=\frac{1}{x} =x^{-1}\) ( x≠0), akkor \( f'(x)=(x^{-1})’=-1·x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \) .
Általánosítva: \( f'(x)=\left(\frac{1}{x^n} \right) ‘=(x^{-n})’=-n·x^{-n-1}=-\frac{n}{x^{(n+1)}} .\)
A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő pozitív racionális szám. Így megkapjuk a gyökfüggvények deriváltjait.
Ha \( f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \) akkor .\( f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Általánosítva: Ha \( f(x)=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p} \) , akkor \( f'(x)=\left( x^{\frac{p}{q}}\right) ‘=\frac{p}{q}x^{\left(\frac{p}{q}-1\right) }=\frac{p}{q}x^{\frac{p-q}{q}}=\frac{p}{q\sqrt[q]{x^{q-p}}} \).
Feladat:
Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény x0=1.5 pontjába húzható érintőjének egyenletét!
Megoldás:
Az érintési pont tehát: E(1.5; 3.375).
Az f(x) = x3 függvény mindenhol deriválható és deriváltfüggvénye: f'(x)=3⋅x2.
A derivált függvény szabályába behelyettesítve az x=1.5 értéket, kapjuk f'(1.5)=3⋅(1.5)2=3⋅2.25=6.75.
Így megkaptuk az f(x) = x3 függvény x0=1.5 pontjába húzható érintőjének a meredekségét: m=6.75.
Az E(1.5; 3.375) ponton áthaladó m=6.75 meredekségű egyenes egyenlete: y-3.375=6.75(x-1.5)=6.75x-6.75.
4. Hatványfüggvények és deriváltjaik
Függvény neve | Függvény | Derivált függvény |
Konstans függvény |
k(x)=c |
k'(x)=0 |
Elsőfokú függvény: |
l(x)=mx+b |
l'(x)=m |
Másodfokú függvény: |
m(x)=x2 |
m'(x)=2⋅x |
Hatvány függvény: | h(x)=xn | h'(x)=n⋅xn-1 |
Négyzetgyök függvény: | \( g(x)=\sqrt{x} \) | \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
N-edik gyök függvény | \( n(x)=\sqrt[n]{x} \) | \( n'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
Fordított arányosság: | \( f(x)=\frac{1}{x} \) | \( f'(x)=-\frac{1}{x^2} \) |
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.