Hatvány fogalma egész kitevő esetén

1. Hatvány fogalma pozitív egész kitevőre.

Ha a hatványozás kitevője pozitív egész szám, akkor a hatványozást egy olyan speciális szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek és a tényezők száma a hatványkitevő értékével egyezik, azaz ​\( a^{3}=a·a·a \)​. 

Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, illetve negatív egész szám is lehessen. Olyan új definíciót kellett adni, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. (Permanencia-elv.)

2. Hatvány fogalma nulla kitevő esetén.

Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa=1.

Formulával: a⁰=1, a∈ℝ\{0} Tehát 0⁰ nincs értelmezve.

Ez a definíció megfelel az eddigi azonosságoknak is, hiszen aⁿ:aⁿ=a^n-n=a⁰=1, bármilyen pozitív egész n kitevő esetén, és bármilyen 0-tól eltérő valós számra.

3. Hatvány fogalma negatív egész kitevő esetén.

Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő az alap reciprokának ellentett kitevővel vett hatványával.

Formulával: a^-n=​\( \left( \frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n} \)​, ahol a∈ℝ, a≠0, n∈ℕ⁺

Például:

5^-2=​\( \left( \frac{1}{5} \right)^2=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \)​=0,04

vagy ​

\( \left( \frac{2}{3} \right)^{-3}=\left( \frac{3}{2} \right)^3=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}=3,375 \)​

Ez a definíció is megfelel az eddig megismert azonosságoknak, hiszen:

a⁵:a⁷=a^5-7=a^-2=​\( \frac{1}{a^2} \)​