Ábrázoljuk az alábbi három függvényt a pozitív valós számok halmazán: x∈ℝ+! a(x)=1.5 v(x)=1.5⋅x+2.5 s(x)=0.75⋅x2+2.5⋅x Általánosabban: a(x)=a v(x)=a⋅x+k0 s(x)=ax2+k0⋅x Fizikai jelentést is társíthatunk hozzájuk: (idő, út, sebesség, gyorsulás) A gyorsulás időben állandó: a(t)=a. Sebesség az idő függvényében: v(t)=at+k0. Út az idő függvényében: s(t)=at2+k0⋅t. Milyen kapcsolatot fedezhetünk fel a fenti függvények között? (v(t))’= a(t)Tovább

Differenciahányados Tekintsük az y = x2  egyenletű parabolát és jelöljük ki rajta a P0(2;4) pontot. Írjuk fel a parabolának ebbe a pontbajába húzható érintőjének egyenletét. Ehhez felhasználjuk, hogy az érintőnek egy közös pontja van a parabolával. Mivel az egyenes egy pontját – a parabola P0(2;4) pontját – ismerjük, ezért a feladat azTovább

1. Az f(x)=c konstans függvény deriváltja nulla. Az f(x)=c konstans függvény differenciahányadosa tetszőleges x0 (x≠x0) esetén ​\( \frac{c-c}{x-x_{0}}=0 \), így a differenciálhányados is nulla, tehát a konstans függvény deriváltja mindenütt nulla. 2. Határozzuk meg az f(x) = x3 függvény derivált függvényét! Ez három lépésben történik: 1.  A differenciahányados felírása 2. A differenciálhányados kiszámítása.Tovább

1. Függvény konstans-szorosának deriváltja Tétel: Ha f (x) függvény differenciálható egy x0 pontban akkor a c f(x) függvény is differenciálható ebben az x0 pontban és (cf(x0))’ =c f’(x0). Röviden: (cf(x))’ =c f’(x). Másképp: Egy függvény konstans-szorosának deriváltja a függvény deriváltjának konstans-szorosa. 2. Két függvény összegének és különbségének deriváltja Feladat: Határozzuk megTovább

Függvény Derivált függvénye Konstans függvény: k(x) = c k’(x) =0 Elsőfokú függvény: l(x)= mx +b l’(x) =m Másodfokú függvény: m(x) = x2 m’(x) =2x m(x) = ax2+bx+c m’(x) =2x+b Hatvány függvény: h(x) = xn h'(x)=n⋅xn-1 Négyzetgyök függvény: ​\( g(x)=\sqrt{x} \)​ ​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​ N-edik gyök függvény: ​\( n(x)=\sqrt[n]{x} \)​ ​\(Tovább

Egy differenciálható  f(x) függvény  f'(x) deriváltfüggvénye  egy adott pontban az  f(x) függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét (iránytangensét) adja. Egy differenciálható függvény jellemzését a derivált függvény a következő szempontok vizsgálatánál segíti: A függvény menete. A függvény szélsőértéke (szélsőértékei). A függvény görbülete (Konvex, konkáv). A függvény inflexiós pontja (pontjai). 1. FüggvényTovább

A görbék hajlásszöge fogalmának tisztázása előtt érdemes visszatérni a szög fogalmához. Szögtartományt két – egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Egyenesek hajlásszöge az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetétől függ. Párhuzamos illetve egybeeső egyenesek hajlásszöge 0. Metsző egyenesek esetén a közös kezdőpontból kiinduló félegyenesek által határolt nem nagyobb szögtartományt tekintjük az egyenesekTovább

Függvények deriváltjainak és primitív függvényeinek összefoglaló táblázata: Függvény f(x) Derivált függvény f'(x) Primitív függvény ​\( \int{f(x)}dx \)​ Konstans fv. k(x) =a k’(x) =0 ​\( \int{a}dx=a·x+c \)​ Elsőfokú fv. l(x)= mx +b l’(x) =m \[ \int{mx+b}dx=m\frac{x^{2}}{2}+bx+c \] Másodfokú fv. m(x) = m2 m’(x) =2⋅x ​\( \int{x^{2} dx}=\frac{x^{3}}{3}+c \)​ Hatvány fv. h(x) =hxnTovább