Görbék hajlásszöge

A görbék hajlásszöge fogalmának tisztázása előtt érdemes visszatérni a szög fogalmához. Szögtartományt két – egy pontból kiinduló két félegyenes határol.

Egyenesek hajlásszöge az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetétől függ.

Párhuzamos illetve egybeeső egyenesek hajlásszöge 0.

Metsző egyenesek esetén a közös kezdőpontból kiinduló félegyenesek által határolt nem nagyobb szögtartományt tekintjük az egyenesek hajlásszögének.

Kitérő egyenesek hajlásszögét visszavezetjük két egyenes hajlásszögére.

Egyenes és sík valamint  sík-sík hajlásszögének meghatározását is két egyenes hajlásszögére vezetjük vissza.

Mit értsünk két -egymást metsző – görbe hajlásszögén?

Érdemes az eddigiekhez hasonlóan eljárni.

A szög csúcsa a két görbe (egyik) metszéspontja lesz.  A hajlásszög annak a két egyenesnek a hajlásszöge legyen, amely egyenesek a görbéket ebben a pontban érintik.

Megjegyzés: Különböző metszéspontokban eltérő lehet a görbék hajlásszöge, hiszen egy adott görbe görbülete változó is lehet.

Definíció:

Két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög.

Ezen a ponton – az érintőkkel –  kapcsolódik a a görbék hajlásszöge a differenciálszámítás témaköréhez.

Differenciálható függvények adott pontbeli hajlásszögének meghatározása:

Ezt érdemes több lépésre bontani:

1. Írjuk fel az egyes függvények derivált függvényeit.
2. Számítsuk ki a derivált függvények helyettesítési értékeit az adott pontban. Így megkapjuk az egyes érintők meredekségeit.
3. Mivel a meredekség az irányszög tangense, ezért visszakereséssel meghatározhatók az egyes érintők irányszögei.
4. Az érintők irányszögeinek különbsége a két görbe hajlásszöge.

Feladatok

1. Feladat

Ábrázoljuk és határozzuk meg az f(x)=(x-3)²-4 és a ​\( g(x)=\sqrt{x-5}+4 \)​ függvények M(6;5) metszéspontjában a görbék hajlásszögét.

Megoldás:

A függvények grafikonja:

1. Derivált függvények: f’ (x)=2x-6 és ​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}} \)​ .

2. Deriváltak helyettesítési értékei az M(6;5) pontban: f’ (6)=6 és g'(6)=0.5 .

3. Az f(x) függvény érintőjének meredeksége tehát 6, így irányszögét visszakeresve:e: tan^-1(6)≈80.53°
A g(x) függvény érintőjének meredeksége 0.5, irányszöge ezért: tan^-1(0.5)≈26.56°.

4. Az f(x) és g(x) függvények hajlásszöge tehát: 80.53°- 26.56°≈53.97°.

Az eredmény tehát:

 2. Feladat

II/1256/c.

Milyen szögben metszi az y=cos(x) görbét az y=0.5 egyenes?

Megoldás:

A két görbe egyik metszéspontja:M₁(cos⁡(0.5);0.5)=M₁(π/3;0.5).
A cos(x) periodikus és páros függvény. Végtelen sok metszéspont van.

A cos(x) deriváltja: cos'(x)=-sin⁡(x). Az y=0.5 egyenes konstans, deriváltja 0.
A cos(x) deriváltjának helyettesítési értéke: -sin⁡(π/3)=-√3/2.
A cos(x) függvény M₁(π/3;0.5) pontba húzott érintőjének meredeksége tehát -√3/2.
Az y=0.5 egyenletű egyenes érintője egybeesik önmagával. Ezért az egyenes „érintőjének” meredeksége 0.
Így α=arctan(-√3/2)≈-40,89º. A hajlásszög ennek abszolút értéke≈ 40,89º.
Bár végtelen sok metszéspont van, de minden metszéspontban ugyanakkora  a hajlásszög.