Elemi függvények deriváltjai

Függvény		Derivált függvénye
Konstans függvény:	k(x) = c	k’(x) =0
Elsőfokú függvény:	l(x)= mx +b	l’(x) =m
Másodfokú függvény:	m(x) = x2	m’(x) =2x
	m(x) = ax2+bx+c	m’(x) =2x+b
Hatvány függvény:	h(x) = xn	h'(x)=n⋅xn-1
Négyzetgyök függvény:	​\( g(x)=\sqrt{x} \)​	​\( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)​
N-edik gyök függvény:	​\( n(x)=\sqrt[n]{x} \)​	​\( n'(x)=\frac{1}{n·\sqrt[n]{x^{n-1}}} \)​
Fordított arányosság:	​\( f(x)=\frac{1}{x} \)​	​\( f'(x)=-\frac{1}{x^2} \)​
Exponenciális függvény:	​\( e(x)=a^x \)​	\[ f'(x)=a^x⋅lna \]
	​\( e(x)=e^x \)​	​\( e'(x)=e^x \)​
Logaritmus függvény:	​\( f(x)=log_{a}x \)​	​\( f'(x)=\frac{1}{lna}·\frac{1}{x} \)​
	f(x)=lnx	​\( f'(x)=\frac{1}{x} \)​
Trigonometrikus függvények:	s(x)=sinx	s'(x)=cosx
	c(x)=cosx	c'(x)=-sinx
	t(x)=tgx	​\( t'(x)=\frac{1}{cos^2x} \)​
	f(x)=ctgx	​\( f'(x)=-\frac{1}{sin^2x} \)​

Megjegyzés:

Az abszolút érték függvény nem deriválható a töréspontban. Mindenhol máshol igen.
Ezért, ha egy abszolút érték függvényt kell deriválni, akkor célszerű a függvény felbontani.

Például:

Ábrázoljuk és deriváljuk az a(x)=2|x+1|-4 függvényt!

Megoldás:

A függvény töréspontja: x=-1.

A függvény felbontása, a függvény az abszolút érték nélkül: ​\( a(x)=2\left|x+1 \right|-4=\left\{\begin{array}{} 2x-2, & ha \; x≥-1 \\ -2x-6, & ha \; x<-1 \\ \end{array} \right\} \)​.

A függvény deriváltja: ​\( a'(x)=\left\{\begin{array}{} (2x-2)’=2, \; ha & x≥-1 \\ (-2x-6)’=-2, \; ha & x<-1 \\ \end{array} \right\} \)​.

A függvény deriváltja összevont alakban: a'(x)=2⋅sign(x+1)