Hatvány fogalma racionális kitevő esetén

Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a tényezők megegyeznek, azaz ​\( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai. Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, negatív egész, sőt törtszám is lehessen.

Ezekre az esetekre azonban új definíciókat kell adni, de ezt úgy, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. (Permanencia-elv.)

Nézzük tehát végig a hatványozás fogalmának fejlődését:

1. Hatvány fogalma pozitív egész kitevő esetén.

Ha egy szorzat azonos tényezőkből épül fel, azt rövidebben hatványalakban írjuk fel. Bár a matematikusok már a középkorban is használták a hatványozást, de a középkorban Descartes volt az, aki elkezdte a hatványkitevők használatát, és a· a helyett a²-t írt.

Definíció: Az aⁿ olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a, ahol a tetszőleges valós szám, n pedig 1-nél nagyobb pozitív egész szám. Bármely valós szám első hatványa önmaga.
Formulával: aⁿ=a· a· a· ….· a, a∈ℝ, „n” darab tényező, n∈ℕ\{0,1}. a¹=a, a∈ℝ.

Az a-t a hatvány alapjának, n-t a hatvány kitevőjének, aⁿ pedig a hatványmennyiség (hatványérték), vagy röviden csak hatványnak mondjuk.

Példa: 2⁵=2·2·2·2·2=32, vagy (-3)⁵=(-3)·(-3)·(-3)·(-3)·(-3)=-243.

1ⁿ=1, azaz 1 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga.
(-1)ⁿ=1, ha n=páros, míg (-1)ⁿ=-1, ha n páratlan.
0ⁿ=0, azaz 0 bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga.

2. Hatvány fogalma nulla kitevő esetén.

Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám nulladik hatványa=1.

Formulával: a⁰=1, a∈ℝ\{0}. Tehát 0⁰ nincs értelmezve.

Ez a definíció megfelel az eddigi azonosságoknak is, hiszen aⁿ:aⁿ=a^n-n=a⁰=1, bármilyen pozitív egész n kitevő esetén és bármilyen 0-tól eltérő valós számra.

3. Hatvány fogalma negatív egész kitevő esetén.

Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő az alap reciprokának ellentett kitevővel vett hatványával.

Formulával: a^-n=​\( {\left(\frac{1}{a} \right) }^{n}=\frac{1}{{a^{n}}} \)​ ahol a∈ℝ, a≠0, n∈ℕ⁺

Például: 5^-2=​\( \left( \frac{1}{5}\right) ^{2} \) =\( \frac{1}{5^2} \)= ​\( \frac{1}{25} \) 

Vagy: ​\( \left(\frac{2}{3} \right)^{-3}\) =\( \left(\frac{3}{2}\right)^3 \)​​=\( \frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8} \)​=3,375

Ez a definíció is megfelel az eddig megismert azonosságoknak, hiszen:
a⁵:a⁷=a^5-7=a^-2=​\( \frac{1}{a^2} \)​

4. Hatvány fogalma racionális kitevő esetén.

Definíció: Bármely 0-tól különböző valós szám racionális törtkitevőjű, azaz hatványa egyenlő az alap m-edik hatványából vont n-edik gyök.

Formulával:​\( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} \),​ahol a∈ℝ⁺, n, m∈ℤ, n>1

Példa:​\( 16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^{3}}=\sqrt[4]{2^{12}}=2^{\frac{12}{4}}=2^{3}=8 \)​
Ez a definíció is megfelel az eddig megismert azonosságoknak, hiszen: ​\( 16^{\frac{3}{4}}={\left( 2^{4} \right) }^\frac{3}{4}=2^{3}=8 \)​

5. Hatvány fogalma irracionális kitevő esetén.

Az eddigi meghatározások nem adnak választ arra, hogy mit jelent a ​\( 2^{\sqrt{3}} \).

Az irracionális kitevőjű hatvány pontos definíciója nem középiskolai tananyag. Megmutatható, érzékeltethető azonban a kétoldali közelítés segítségével, hogy az irracionális kitevőjű hatvány létezik, és az eddig megismert azonosságok érvényben maradnak.

Feladat:

Végezze el a következő műveleteket! (a>0, b>0)

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 397. feladat.)

Megoldás:

A számlálóban tényezőnként hatványozva, a nevezőben a hatvány hatványozása azonosságot alkalmazva:
Most a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, itt is a hatvány hatványozása azonosságot alkalmazzuk. Itt a kitevők összeszorzásánál a lehetséges egyszerűsítéseket elvégezzük.
A számlálóban az azonos alapú hatványokat közös alapra vesszük, a kitevők összeadódnak.
Azaz:
Így a számláló legegyszerűbb alakban:
Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a kitevőket kivonjuk egymásból:

A végeredmény: ​\( a^{\frac{8}{24}} \)​, azaz ​\( a^{\frac{1}{3}} \)​, ami ​ \( \sqrt[3]{a} \)​ alakba is írható.