A hatványozás műveletének fogalma fokozatosan alakult ki.
Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a kitevő számának megfelelő számú tényezők megegyeznek, azaz például: \( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai.
Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, negatív egész, sőt törtszám is lehessen. A hatványozás fogalmát úgy kellett kiterjeszteni racionális kitevőre, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. (Permanencia elv)
Középiskolában nem tudunk korrekt meghatározást adni arra az esetre, ha a hatvány kitevője irracionális szám. Ennek ellenére a kétoldalú közelítés segítségével érzékeltetni tudjuk, hogy irracionális kitevő esetén is létezik a hatvány értéke.
Példaként nézzük meg, hogyan lehet behatárolni a \( 2^\sqrt{3} \)értékét racionális kitevők segítségével. A \( \sqrt{3} \) irracionális szám, közelítő értéke ≈1,73205… . A kétoldali közelítés azon alapszik, hogy a konkrét példánál az adott hatvány alap esetén kisebb kitevőhöz kisebb hatványérték tartozik, azaz ha x<y, akkor 2x<2y.
21<\( 2^\sqrt{3} \)<22 |
Látható, hogy minél jobban közelítjük két oldalról a kitevőt racionális számokkal, az eredmények között egyre kisebb a különbség.
Számológépes kalkulátor szerint: \( 2^\sqrt{3} \)≈3,321997085
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.