Hatvány fogalma irracionális kitevő esetén

A hatványozás műveletének fogalma fokozatosan alakult ki.

Hatvány fogalmát pozitív egész kitevőre olyan szorzatként definiáltuk, amelyben a kitevő számának megfelelő számú tényezők megegyeznek, azaz például: ​\( a^{3}=a·a·a \). Ebből a definícióból következtek a hatványozás azonosságai.

Ezek eredményeként is felvetődött az az igény, hogy a kitevőben 0, negatív egész, sőt törtszám is lehessen. A hatványozás fogalmát úgy kellett kiterjeszteni racionális kitevőre, hogy az eddig megismert azonosságok érvényben maradjanak. (Permanencia elv)

Középiskolában nem tudunk korrekt meghatározást adni arra az esetre, ha a hatvány kitevője irracionális szám. Ennek ellenére a kétoldalú közelítés segítségével érzékeltetni tudjuk, hogy irracionális kitevő esetén is létezik a hatvány értéke.

Példaként nézzük meg, hogyan lehet behatárolni a ​\( 2^\sqrt{3} \)​értékét racionális kitevők segítségével. A ​\( \sqrt{3} \)​ irracionális szám, közelítő értéke ≈1,73205… . A kétoldali közelítés azon alapszik, hogy a konkrét példánál az adott hatvány alap esetén kisebb kitevőhöz kisebb hatványérték tartozik, azaz ha x<y, akkor 2x<2y.

21​<\( 2^\sqrt{3} \)​<22

Látható, hogy minél jobban közelítjük két oldalról a kitevőt racionális számokkal, az eredmények között egyre kisebb a különbség.

Számológépes kalkulátor szerint: \( 2^\sqrt{3} \)≈3,321997085

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.