Bevezetés
A középiskolai tanulmányok eddigi –középszintű – szintjén a függvények folytonosságát nem definiáltuk. A függvény grafikonjára támaszkodva egy szemléletes kép alapján fogadtuk el valamely függvényről, hogy folytonos vagy sem.
Nézzük a következő függvényeket:
Az f(x) függvény grafikonja alapján úgy gondoljuk, hogy az f(x) függvény folytonos. De az f(x) függvény az x= 3 pontban nincs értelmezve, tehát nem lehet ebben a pontban „folytonos”.
Az m(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Minden x-re értelmezve van és a grafikonja alapján folytonosnak látjuk és gondoljuk.
A \( d(x)=\left\{ \begin{array}{} 1 & ha \; x∈\mathbb{Q} \\ 0 & ha \; x∉ℚ \\ \end{array} \right\} \) az un. Dirichlet függvény nem ábrázolható, úgy gondoljuk, nyilván nem folytonos.
A függvények folytonossága esetén tehát két dologról lehet és kell beszélni:
• Függvény folytonossága egy adott pontban.
• Függvény folytonossága egy adott intervallumon.
Nézzük a következő példákat:
f: ℝ→ℝ, f(x)=x+2.
d: ℝ→ℝ, \( d(x)=\left\{ \begin{array}{} x+2 & ha \; x≠2 \\ 5 & ha \; x=2 \\ \end{array} \right\} \).
|
n |
n=1 | n=2 | n=3 | n |
n→∞ |
|
an |
\( 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) | \( 2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4} \) | \( 2-\frac{1}{8}=\frac{15}{8} \) | \( 2-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n} \) | n→2 |
|
x |
x=a1+2 | x=a2+2 | x=a3+2 |
x=a4+2 |
|
|
f(x) |
\( 2-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2} \) | \( 2-\frac{1}{4}+2=\frac{15}{4} \) | \( 2-\frac{1}{8}+2=\frac{31}{8} \) | \( 2-\frac{1}{2^n}+2=\frac{4·2^n-1}{2^n} \) |
x→4 |
Viszont látható, hogy f(2) = 4, de d(2) = 5
Megjegyzés: A fenti példa csak szemléltet. A Dirichlet függvény esetén becsapós is lehet.Hiszen sorozat minden tagja racionális szám, ilyenkor ez a függvény mindig 1 értéket ad. Mégsem mondhatjuk, hogy a függvény értékeinek a sorozata tart az egyhez, hiszen bármelyik két racionális szám között végtelen sok irracionális szám van.
Függvény folytonossága.
Definíció: Folytonosság egy adott pontban.
Legyen az „f” függvény értelmezve az x0 pontban és annak egy környezetében. Az f függvényt az x0 pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely (∀) ε>0-hoz létezik (∃) olyan δ>0, hogy ha 0<|x-x0|<δ, akkor |f(x)-f(x0)|<ε.
Ezt szokás Cauchy-féle definíciónak is nevezni.
A fenti definícióval ekvivalens (egyenértékű) a következő definíció:
Legyen az „f” függvény értelmezve az x0 pontban és annak egy környezetében. Az f függvényt az x0 pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely (∀) xn→x0 sorozat esetén f(xn)→ f(x0).
Ezt szokás Heine-féle definíciónak is nevezni.
Azt is mondhatjuk, hogy a pontbeli folytonosság létezéséhez az „f” függvénynek három feltételt kell teljesítenie:
1) Szükséges, hogy a függvény az adott x0 helyen és annak környezetében értelmezve legyen. (Létezzen függvény értelmezési tartományának valamilyen környezete az x0 pontban.)
2) Az x0 pontban a függvényértékek bármely sorozatának legyen határértéke.
3) Szükséges, hogy a függvényértékek sorozatának a x0 pontban vett határértéke megegyezzen az x0 pontban vett helyettesítési értékkel.
Folytonosság egy adott intervallumon.
Definíció:
Az „f” függvényt folytonosnak mondjuk egy adott intervallumon, ha az intervallum minden pontjában folytonos.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.