Függvények folytonossága

Bevezetés

A középiskolai tanulmányok eddigi –középszintű – szintjén a függvények folytonosságát nem definiáltuk. A függvény grafikonjára támaszkodva egy szemléletes kép alapján fogadtuk el valamely függvényről, hogy folytonos vagy sem.

Nézzük a következő függvényeket:

​\( f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=x+3 \)​

Az f(x) függvény grafikonja alapján úgy gondoljuk, hogy az f(x) másodfokú függvény folytonos. De az f(x) függvény az x= 3 pontban nincs értelmezve, tehát nem lehet ebben a pontban „folytonos”.

m(x)=x2-4

Az m(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Minden x-re értelmezve van és a grafikonja alapján folytonosnak látjuk és gondoljuk.

 

A ​\( d(x)=\left\{ \begin{array}{} 1 & ha \; x∈\mathbb{Q} \\ 0 & ha \; x∉ℚ \\ \end{array} \right\} \)​ az un. Dirichlet függvény nem ábrázolható, úgy gondoljuk, nyilván nem folytonos.

A függvények folytonossága esetén tehát két dologról lehet és kell beszélni:

• Függvény folytonossága egy adott pontban.
• Függvény folytonossága egy adott intervallumon.

Nézzük a következő példákat:

f: ℝ→ℝ, f(x)=x+2.

d: ℝ→ℝ, ​\( d(x)=\left\{ \begin{array}{} x+2 & ha \; x≠2 \\ 5 & ha \; x=2 \\ \end{array} \right\} \)​.

n

n=1 n=2 n=3 n

n→∞

an

\( 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) \( 2-\frac{1}{4}=\frac{4}{4} \) \( 2-\frac{1}{8}=\frac{15}{8} \) \( 2-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n} \) n→2

 x

x=a1+2 x=a2+2 x=a3+2

x=a4+2

f(x)

\( 2-\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2} \) \( 2-\frac{1}{4}+2=\frac{11}{4} \) \( 2-\frac{1}{8}+2=\frac{31}{8} \) \( 2-\frac{1}{2^n}+2=\frac{4·2^n-1}{2^n} \)

x→4

Viszont látható, hogy f(2) = 4, de d(2) = 5

Megjegyzés: A fenti példa csak szemléltet. A Dirichlet függvény esetén becsapós is lehet.Hiszen sorozat minden tagja racionális szám, ilyenkor ez a függvény mindig 1 értéket ad. Mégsem mondhatjuk, hogy a függvény értékeinek a sorozata tart az egyhez, hiszen bármelyik két racionális szám között végtelen sok irracionális szám van.

Függvény folytonossága.

Definíció: Folytonosság egy adott pontban.

Legyen az „f” függvény értelmezve az x0 pontban és annak egy környezetében. Az f függvényt az x0 pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely (∀) ε>0-hoz létezik (∃) olyan δ>0, hogy ha 0<|x-x0|<δ, akkor |f(x)-f(x0)|<ε.
Ezt szokás Cauchy-féle definíciónak is nevezni.

A fenti definícióval ekvivalens (egyenértékű) a következő definíció:

Legyen az „f” függvény értelmezve az x0 pontban és annak egy környezetében. Az f függvényt az x0 pontban folytonosnak nevezzük, ha bármely (∀) xn→x0 sorozat esetén f(xn)→ f(x0).
Ezt szokás Heine-féle definíciónak is nevezni.

Azt is mondhatjuk, hogy a pontbeli folytonosság létezéséhez az „f” függvénynek három feltételt kell teljesítenie:

1) Szükséges, hogy a függvény az adott x0 helyen és annak környezetében értelmezve legyen. (Létezzen függvény értelmezési tartományának valamilyen környezete az x0 pontban.)

2) Az x0 pontban a függvényértékek bármely sorozatának legyen határértéke.

3) Szükséges, hogy a függvényértékek sorozatának a x0 pontban vett határértéke megegyezzen az x0 pontban vett helyettesítési értékkel.

Folytonosság egy adott intervallumon.

Definíció:

Az „f” függvényt folytonosnak mondjuk egy adott intervallumon, ha az intervallum minden pontjában folytonos.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.