A parabolikus háromszög területe

Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni. A körbe írt és a köré kör írt négyzetekkel próbálták a kör területét behatárolni.

Ma már közismert, hogy a kör területe=r2π és az is közismert, hogy a π egy irracionális szám. Ennek természetét és értékének meghatározását sokan próbálták.

Arkhimédész a π értékét a körbe írt 96 (!) oldalú szabályos sokszög területével közelítette meg.  Ő az un. kimerítés módszerét alkalmazta, amely lényegében a mai középiskolai kétoldalú közelítés módszeréhez hasonlít.

Parabolaív által határolt parabolikus háromszög területe

Ábrázoljuk az y=x2 parabolát a [0; 1] intervallumon erős nagyítással!

A parabolikus háromszöget egy parabola ív, az “x” tengely és egy az “y” tengellyel párhuzamos egyenes határol.
Ennek területe biztosan kisebb, mint 0.5 területegység, hiszen kisebb, mint az 1 x 1-es négyzet területének a fele.

Most is hasonlóan járjunk el, mint a “régiek”. Alkalmazzuk a kétoldali közelítés módszerét.

Jelöljük ki a parabolán az x = 0.2; 0.4; 0.6; és a 0.8 abszcisszájú pontokat!
Ezekből a pontokból az „x” tengellyel párhuzamos egyenesekkel képezzünk a parabola görbe alatti téglalapokat (beírt téglalapok), valamint a parabolaívhez köréírt téglalapokat!

 

Parabolaívhez köré írt téglalapok
Görbe alatti beírt téglalapok
A beírt téglalapok területeinek összege nyilván kisebb, mint a parabolikus háromszög területe.
Ugyanakkor a köré írt téglalapok területeinek összege pedig nagyobb a parabolikus háromszög területénél.
Finomítsuk a beosztást! Legyenek a pontok abszcisszái: x= 0,1; 0.2; 0.3; …0.9.
Ismételjük meg az eljárást a beírt és a köré írt téglalapokkal. Persze ezt általánosíthatjuk.
Legyen a beosztás mértéke 1/n. Ekkor minden téglalap egyik oldala 1/n.

Az i.-ik osztáshoz tartozó beírt téglalap másik oldala ekkor [(i-1)/n]2, így a téglalap területe: ​\( t_{b}=\frac{1}{n}·\left(\frac{i-1}{n}\right)^2 \)​.

Míg az i. intervallumhoz tartozó köré írt téglalap területe: ​\( t_{k}=\frac{1}{n}·\left(\frac{i}{n}\right)^2 \)​.

Összegezzük a beírt és a köré írt téglalapok területeit!

A beírt téglalapok területeinek az összege: ​\( s_{n}=\frac{1}{n^3}·\left\{ 1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2 \right\} \)​.

A köré írt téglalapok területinek összege: ​\( S_{n}= \frac{1}{n^3}·\left\{ 1^2+2^2+3^2+…+n^2 \right\} \)​.

A parabolaív alatti terület nyilván a két érték között van.

\[ \frac{1}{n^3}·\left\{ 1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2 \right\}=s_{n}<T<S_{n}=\frac{1}{n^3}·\left\{ 1^2+2^2+3^2+…+n^2 \right\} \]

Felhasználva, hogy  az  első “k” darab pozitív egész szám négyzetösszege zárt alakban: ​\( 1^2+2^2+3^2+…+k^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)​. Ez teljes indukcióval bizonyítható.

Ezt behelyettesítve az egyenlőtlenségek zárójelei között szereplő négyzetösszegere:

\[ \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=s_{n}<T<S_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \]

Átalakítás után:

\[ \left( 1-\frac{1}{n} \right)·\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{6n} \right)=s_{n}<T<S_{n}=\left( 1 +\frac{1}{n} \right)·\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6n} \right) \]

Az “n” értékét (a felosztás mértékét) minden határon túl növelve a beírt és a köré írt  téglalapok területeire kapott kifejezések határértékei:

\[ \lim_{ n \to \infty }\left( 1-\frac{1}{n} \right)·\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{6n} \right)=\frac{1}{3} \; és \; \lim_{ n \to \infty }\left( 1+\frac{1}{n} \right)·\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6n} \right)=\frac{1}{3} \].

Ezt felhasználva a beírt, a parabolikus háromszög és a köré írt téglalapok területire vonatkozó egyenlőtlenségek:

\[ \frac{1}{3}<T<\frac{1}{3} \]

A sorozatok határértékeire vonatkozó un. “rendőr-elv” szerint az pontosan azt jelenti, hogy a parabolikus háromszög területe:

\[ T=\frac{1}{3} \].

 

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.