A határozatlan integrál és tulajdonságai

Definíció:

Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja).

A fenti definíció közvetlen következménye:

Tétel: (az integrálszámítás alaptétele)

Ha F(x) függvény primitív függvénye f(x) függvénynek, akkor az F(x)+c függvény is primitív függvénye az f(x) függvénynek, ahol c∈ℝ konstans.

Tehát, ha egy f(x) függvénynek van primitív függvénye, akkor f(x) függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy konstansban térnek el egymástól.

Definíció:

Az f(x) függvény  összes primitív függvényeinek halmazát az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük és \( \int{f(x)}dx \)​ szimbólummal jelöljük.

Megjegyzés:  A ​\( \int{} \)​egy elnyújtott S betű, a szumma szóra utal és Leibniz vezette be.

Az alábbiakban nézzük néhány alapvető fontosságú határozatlan integrált!

\( \int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \)​.

\( \int{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}=\frac{2}{3}x\sqrt{x} \)​.

\( \int{cosx}dx=sinx+c \)​.

\( \int{sinx}dx=-cosx+c \)​.

Határozatlan integrálás szabályai

1.Függvény konstans-szorosának integrálása: ​\( \int{c·f(x)dx }=c·\int{f(x)dx} \)​.

2. Függvények összegének integrálása: ​\( \int{\left\{ f(x)±g(x) \right\}dx}=\int{f(x)dx}±\int{g(x)dx } \)​ .

3. Függvény és derivált függvény szorzata: ​\( \int{f(x)·g'(x)dx }=f(x)·g(x)-\int{ f'(x)·g(x)dx} \)​. (Parciális integrálás.).

4. Összetett függvény és a belső  derivált függvény szorzata: ​\( \int{f(g(x))·g'(x)dx }=F(g(x))+c \)​.

5. f'(x)/f(x) típusú hányados függvény integrálása: ​\( \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx }=ln\left|f(x) \right| +c \)​.

6. Ha F'(x)=f(x), akkor  ​\( \int{f(ax+b)}dx=\frac{1}{a}·F(ax+b)+c \)​, a,b,c∈ℝ, a≠0.

Itt az f(x) függvény egy olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye elsőfokú függvény.

Például: ​\( \int{cos(2x+1)}dx=\frac{1}{2}·sin(2x+1)+c \)​.  Mivel a cos(x) primitív függvénye sin(x).
Ellenőrzés: ​\( \left(\frac{1}{2}·sin(2x+1)+c \right)’=\frac{1}{2}cos(2x+1)·2=cos(2x+1) \)​.

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.