Definíció:
Legyen f(x) az [a;b] intervallumon értelmezve. Ha létezik az f(x) függvényhez olyan [a;b] intervallumon értelmezett F(x) függvény, hogy minden x∈ [a;b]-re F’(x)=f(x) akkor azt mondjuk, hogy az F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye (antideriváltja).
A fenti definíció közvetlen következménye:
Tétel: (az integrálszámítás alaptétele)
Ha F(x) függvény primitív függvénye f(x) függvénynek, akkor az F(x)+c függvény is primitív függvénye az f(x) függvénynek, ahol c∈ℝ konstans.
Tehát, ha egy f(x) függvénynek van primitív függvénye, akkor f(x) függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy konstansban térnek el egymástól.
Definíció:
Az f(x) függvény összes primitív függvényeinek halmazát az f(x) függvény határozatlan integráljának nevezzük és \( \int{f(x)}dx \) szimbólummal jelöljük.
Megjegyzés: A \( \int{} \)egy elnyújtott S betű, a szumma szóra utal és Leibniz vezette be.
Az alábbiakban nézzük néhány alapvető fontosságú határozatlan integrált!
\( \int{x^n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \).
\( \int{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}=\frac{2}{3}x\sqrt{x} \).
\( \int{cosx}dx=sinx+c \).
\( \int{sinx}dx=-cosx+c \).
Határozatlan integrálás szabályai
1.Függvény konstans-szorosának integrálása: \( \int{c·f(x)dx }=c·\int{f(x)dx} \).
2. Függvények összegének integrálása: \( \int{\left\{ f(x)±g(x) \right\}dx}=\int{f(x)dx}±\int{g(x)dx } \) .
3. Függvény és derivált függvény szorzata: \( \int{f(x)·g'(x)dx }=f(x)·g(x)-\int{ f'(x)·g(x)dx} \). (Parciális integrálás.).
4. Összetett függvény és a belső derivált függvény szorzata: \( \int{f(g(x))·g'(x)dx }=F(g(x))+c \).
5. f'(x)/f(x) típusú hányados függvény integrálása: \( \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx }=ln\left|f(x) \right| +c \).
6. Ha F'(x)=f(x), akkor \( \int{f(ax+b)}dx=\frac{1}{a}·F(ax+b)+c \), a,b,c∈ℝ, a≠0.
Itt az f(x) függvény egy olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye elsőfokú függvény.
Például: \( \int{cos(2x+1)}dx=\frac{1}{2}·sin(2x+1)+c \). Mivel a cos(x) primitív függvénye sin(x).
Ellenőrzés: \( \left(\frac{1}{2}·sin(2x+1)+c \right)’=\frac{1}{2}cos(2x+1)·2=cos(2x+1) \).
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.