A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel foglalkozik, amelyek többször is megismétlődhetnek, de amelyek kimenetelét előre nem lehet megmondani. A véletlenszerű jelenségeket és megfigyelésüket kísérletnek nevezzük. Kísérlet tehát például a fenti példákban a kockadobás, a pénzfeldobás, a céltáblára lövés, a lottó húzás. Egy elemi eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik vagy nem.

A kísérletek kimeneteleit egyelemű halmazokként tartalmazó eseményeket elemi eseményeknek hívjuk. 

Az elemi események összessége (halmaza) az eseménytér.

Az elemi eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik vagy nem.

Például egy kockadobásnál elemi esemény az 1-es, a 2-es és így tovább a  6-os dobás. A célba lövésnél egy elemi esemény a céltábla egy pontjának az eltalálása. A lottó húzásnál elemi esemény egy kihúzott szám-ötös.

A kockadobásos kísérletben, amikor egy kockával egyet dobunk,  az eseménytér 6 elemi eseményből áll. Az egyszeri pénzfeldobásnál mindössze 2 elemi esemény alkotja az eseményteret. A célbalövésnél végtelen számú elemi esemény következhet be.

Ha azt vizsgáljuk, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egy dobókockával egyszeri dobással 4-nél nagyobb számot fogunk dobni, akkor az két elemi eseménykor fog bekövetkezni. Ha 5-öst vagy ha 6-ost dobtam.

Ha az eseménytér egynél több elemi eseményéből álló részhalmaz következik be, akkor összetett eseményről beszélünk.

Egymást kizáró események olyan események, amelyek egyszerre nem következhetnek be.

Például: Az egy kockás egy dobással kísérletnél az A esemény legyen, hogy 3-nál kisebbet dobunk, míg a B esemény az, hogy 4-nél nagyobbat dobunk. Az A és a B események halmazának metszete üres halmaz: A∩B=∅.

Egy esemény komplementer (ellentett) az az esemény, amely akkor következik be, amikor az adott esemény nem.
 Jelölés: Az A esemény komplementer eseményét ​\( \overline{A} \)​val jelöljük.

Egy adott esemény és komplementere egymást kizáró események. Azaz az A eseményhalmaz és az ​\( \overline{A} \) események halmazának metszete üres halmaz: A∩\( \overline{A} \)​=∅

Például: Ha azt az esemény nézzük, hogy egy kockával egyszer dobunk és a dobás eredménye 4-nél több, akkor ennek a komplementer eseménye akkor következik be, ha a dobás eredmény 5-nél kevesebb.

Ha az eseményteret kettőnél több elemi esemény alkotja, akkor egy elemi esemény komplementere összetett esemény. Ez persze fordítva nem igaz. Ez összetett esemény komplementer lehet összetett esemény, de lehet elemi esemény is.

Szükséges bevezetni a biztos esemény illetve lehetetlen esemény fogalmait.

Lehetetlen esemény, amely egy adott kísérletben nem következhet be.

Lehetetlen esemény, hogy ha egyszer egy kockával dobunk, akkor a dobás eredménye 6-nál nagyobb legyen. Természetesen ez csak egy nagyon egyszerű példa.

Biztos esemény, amely az adott kísérletben mindenképpen be fog következni.

Maradva a kockadobásos kísérletnél, egy kockával egyszer dobva biztos esemény, hogy a dobott szám kisebb lesz, mint 7.

Jelölések:

Az eseményeket az ABC nagy betűivel szokás jelölni. Az eseménytér jele: Ω, biztos esemény jele az I vagy H, míg a lehetetlen eseményt ​-val (illetve \( Φ \)​-val) jelöljük.

Ha egy társasjátékban dobókockával dobunk, számunkra természetes, hogy ugyanakkora az esélye (“valószínűsége”) a 6-osnak, mint az 1-esnek. Feltételezzük ugyanis, hogy a kocka szabályos, anyaga homogén, így egyik oldala sem kitüntetett. Ha a játék közben mégsem ezt tapasztalnánk, felmerülne bennünk, hogy a dobókockával valami nem stimmel. Mivel 6 lehetséges eredményünk lehet, amelyek bekövetkezésének ugyanannyi az esélye, úgy is fogalmazhatunk, hogy 1/6≈0,17  a valószínűsége annak, melyik számra fog esni a dobókocka.

Egy A betűvel jelölt esemény valószínűségét P(A) szimbólummal jelöljük. Egy esemény valószínűségét 0 és 1 közé eső valós számmal lehet jellemezni. Formulával: 0≤ P(A)≤1.

A biztos esemény valószínűsége=1,  azaz P(H)=1, a lehetetlen esemény valószínűsége pedig nulla, azaz P(∅)=0.

1933-ban a született meg a valószínűségszámítás axiómarendszere, amely az orosz Kolmogorov érdeme

 

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.