Matematika axiomatikus felépítése

Már az ókorban törekedtek a matematikai ismeretek deduktív módon való felépítésére. Arra, hogy minden állítást bizonyítani kell. Az egyes állítások igazolásánál nem szabad felhasználni csak már korábban bizonyított tételt. Ez az út elvezetett a legegyszerűbb elemi állításokhoz, az axiómákhoz, amelyek bizonyítása már nem lehetséges.

Ezen axiómák megfogalmazására először még az ókorban, a geometriában látunk példát. Már Hippokratész Sztoikheia című művében kísérletet tesz erre, de ennek csak töredéke maradt fenn.

A geometria axiomatikus megalapozása vitathatatlanul Eukleidész szintén ókori görög matematikus érdeme. Az Elemek című művében megfogalmazott euklideszi axiómák ma is érvényesek. Mindössze 9 axiómából és 5 posztulátumból (ma ezeket is axiómáknak mondjuk) álló rendszere hosszú időn át mintául szolgált.

Csak a XIX. században született meg az első nemeuklideszi geometria, a Bolyai_Lobacsevszkij féle hiperbolikus geometria. Ez egyetlen euklideszi axióma megváltoztatásából, a párhuzamossági axióma tagadásából született. Ez egyben ráirányította a figyelmet az axiómarendszer fontosságára.

1882-ben az olasz Peano megfogalmazta a természetes számok axiómáit, a Peano axiómákat.

A geometria ma használt axiómarendszerét 1899-ben Hilbert Grundlagen der Geometrie (A geometria alapjai) című művében fogalmazta meg, általánosítva az euklideszi axióma rendszert.
Ugyancsak Hilbert volt az, aki megválaszolta azt a kérdést, hogy mikor megfelelő egy axiómarendszer.

1. Legyenek az egyes axiómák függetlenek egymástól, azaz egyiket se lehessen igazolni a másik segítségével.
2. Legyen az axiómarendszer ellentmondásmentes, vagyis ne fordulhasson elő olyan állítás, amely az axiómák alapján igazolható és cáfolható is egyben.
3. Legyen az axiómarendszer teljes, azaz az adott tudományág minden problémája vagy igazolható vagy, cáfolható lehessen.

1908-ban kialakult a halmazelmélet axiómarendszere, majd 1933-ban a valószínűségszámításé is. Az előbbi Ernst Zermelo német és Abraham Fraenkel izraeli matematikusok, az utóbbi az orosz Kolmogorov érdeme.

1931-ben azonban Kurt Gödel osztrák matematikus megmutatta, hogy valamely ellentmondás nélküli axiómarendszer sohasem lehet teljes. Azaz bármelyik axiómarendszeren belül megfogalmazható egy olyan állítás, amelyik nem bizonyítható, de nem is cáfolható (nemteljességi tétel).

Egy véglegesen megfogalmazott axiómarendszerben pedig az ellentmondásmentesség nem bizonyítható, tehát egy adott axiómarendszer nem képes igazolni saját maga „igaz” voltát.

Mindez azt jelenti, hogy nem lehet egy adott tudományág axiómarendszerét véglegesen megfogalmazni. Új kérdések esetleg újabb axiómákat kívánnak.