Euklideszi axiómák

Eukleidész görög matematikus “Elemek” cimű munkájában megfogalmazta alapigazságait (axiómáit).

A kilenc axióma:

  1. Az egy és ugyanavval egyenlők egymással is egyenlők.
  2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, akkor az összegek is egyenlők.
  3. Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők.
  4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk, az összegek nem egyenlőek.
  5. Ugyanannak a kétszeresei is egyenlők.
  6. Ugyanannak a fele részei is egyenlők.
  7. Az egymással egybevágók egyenlők.
  8. Az egész nagyobb a résznél.
  9. Két egyenes nem fog közre területet.

Az axiómákat öt posztulátum (követelmény) követi: (Ezek a mai értelmezés szerint szintén axiómák)

  1. Minden pontból minden ponthoz egyenes húzható.
  2. Az egyenes szakasz végtelenül meghosszabbítható.
  3. Minden pontból, mint középpontból tetszőleges sugarú kör rajzolható.
  4. A derékszögek egyenlők.
  5. Ha két, azonos síkban fekvő egyenes egy harmadik metsz, akkor a két egyenes a harmadiknak azon az oldalán metszi egymást, amelyiken a keletkezett belső szögek összege két derékszögnél kisebb.

Ez az utolsó posztulátum okozott gondot majd 2000 éven át a matematikusoknak. Elsősorban bonyolultsága és ellenőrizhetetlensége miatt. Ez indította el az axiómarendszerekre vonatkozó vizsgálatokat. És ezekből a kutatásokból, illetve a párhuzamossági axióma tagadásából született meg a Bolyai-Lobacsevszkij féle geometria. Ők ezt a párhuzamossági axiómát annak tagadásával helyettesítették:

“Az “e” egyeneshez egy külső P pontból több olyan egyenes húzható az “e” és P által meghatározott síkban, amely e-t nem metszi.”

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.