A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria

Bolyai-Lobacsevszkij-geometria a hiperbolikus geometria.

A geometria axiomatikus felépítését még az ókorban Eukleidész teremtette meg. Az ő általa kidolgozott euklideszi axiómarendszer ma is érvényes. Ebben az axiómarendszerben 9 axiómát és 5 posztulátumot (mai felfogás szerint ezek is axiómák) fogalmazott meg. Ezek között egyetlen egy van, amely régóta vita tárgya a matematikusok körében. Ez un. párhuzamossági axióma. Érdemes itt szó szerint is idézni:

” Ha két, azonos síkban fekvő egyenes egy harmadik metsz, akkor a két egyenes a harmadiknak azon az oldalán metszi egymást, amelyiken a keletkezett belső szögek összege két derékszögnél kisebb.” 

Egyszerűbben: Egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen nem metsző egyenes húzható a pont és az egyenes által meghatározott síkban.

Ez a többi axiómánál bonyolultabb állítás arra inspirálta a matematikusokat, hogy ezt az axiómát többi axiómából levezessék (így már nem axióma, hanem bizonyított tétel lenne). Azonban ez senkinek sem sikerült.

Bolyai Farkas is azon az úton indult el, hogy a többi axiómából levezesse a párhuzamossági axiómát. Levezetésében azonban Gauss megtalálta a hibát. Ezek után megpróbálta más axiómával helyettesíteni: “Három pont vagy körön van, vagy egy egyenesen van.”
Megjegyzés: Az euklideszi párhuzamossági axióma egyenértékű még azzal az állítással, hogy a háromszög szögeinek összege 180°.

Bolyai János 1820-ban kezdett a problémával foglalkozni, és 1823-ban írta édesapjának: “Semmiből egy új világot teremtettem.”

Bolyai János és tőle függetlenül az orosz Lobacsevszkij a párhuzamossági axiómát annak tagadásával helyettesítették. Pontosabban:
” Az “e” egyeneshez egy külső P pontból több olyan egyenes húzható az “e” és P által meghatározott síkban, amely e-t nem metszi.”

Ezek után mindketten megvizsgálták ennek következményeit, és az derült ki, hogy ez a helyettesítés nem vezet logikai ellentmondáshoz. Így a módosított axiómarendszerrel egy új geometria született. A modellek azt mutatják, hogy ha az euklideszi axiómarendszer ellentmondásmentes, akkor a hiperbolikus axiómarendszer is az.

Természetesen ebben a geometriában is létezik párhuzamosság. Ezt a következőképpen értelmezzük:

A mellékelt ábrán a PB és QA félegyenesek a PQ egyenes ugyanazon oldalán vannak.
PB és QA félegyenesek nem metszik egymást, nincs közös pontjuk. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a PB és QA félegyenesek párhuzamosak. A QPB szögtérben haladó és P-n átmenő minden egyenes metszi a QA-t.

Ez a párhuzamosság-fogalom szemléletesen azt jelenti, hogy ha elkezdjük forgatni a PQ egyenest A pont felé, akkor a forgó félegyenes éppen “elpattanó”, első nem metsző helyzetében lesz párhuzamos QA-val. A mellékelt ábrán a PM párhuzamos QA-val és PN párhuzamos QÁ-val. (mint “elpattanó félegyenesek) Az új axióma azt mondja ki, hogy több nem metsző egyenes van, tehát PM és PN nem esnek egy egyenesbe.
Így a PM és PN félegyenesek meghosszabbítása olyan szögtartományt hoz létre, amelyben végtelen sok olyan egyenes húzható, amely már nem elpattanó, de nincs közös pontja PA-val ill. PÁ-val. Ezeket az egyeneseket ultrapárhuzamos egyeneseknek nevezzük. Ebben a geometriában (hiperbolikus geometriában) tehát a párhuzamosságot félegyenesekre értelmezzük. Két egyenest akkor mondunk párhuzamosnak, ha vannak párhuzamos félegyeneseik.

A hiperbolikus geometriáról szemléletes képet ad az un. Cayley-Klein-féle körmodell.
A hiperbolikus sík pontjait az un határkör belső pontjai jelentik. Két egyenes párhuzamos (“elpattanó”), ha a határkörön metszik egymást. Két egyenes ultrapárhuzamos, ha az egyeneseknek megfelelő húrok nem metszik egymást. A határkörbe írt háromszöget olyan egyenesek alkotják, amelyek közül bármelyik kettő párhuzamos a másik kettővel. (Ilyen az ábrán az ABC háromszög.) Ez a modell talán ilyen méretekben szokatlan, de csillagászati lépték esetén már nem.

A Bolyai-Lobacsevszkij hiperbolikus geometria, mint speciális esetet tartalmazza az euklideszi geometriát is.

Ma már tudjuk, hogy a fizikai tér nem euklideszi szerkezetű. Ugyanakkor a hiperbolikus geometriában feltételezettnél is bonyolultabb, nem jellemezhető egyetlen paraméterrel. A mi emberi világunk mértei és technikai feltételei között az euklideszi geometria elegendő pontossággal alkalmazható.

Lásd még: https://hu.wikipedia.org/wiki/Hiperbolikus_geometria

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.