Halmazelmélet axiómarendszere

A matematika axiómatikus felépítése és a matematika fejődésében jelentős állomás volt a halmazelméleti axiómarendszer megfogalmazása. Ez először 1908-ra alakult ki Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) német és Adolf Abraham Fraenkel (1891-1965) izraeli matematikusok munkássága nyomán. Ebben a rendszerben halmazok elemeiként is csak halmazok jöhetnek számításba.

Zermelo-Fraenkel féle axiómarendszer.

Alapfogalmak:

1. A halmaz fogalma.
2. Halmaz elemének lenni. (Halmazhoz tartozás.)

Axiómák:

1. Ha két halmaz elemei ugyanazok, akkor a két halmaz azonos.
2. Van olyan halmaz, amelynek nincs eleme. Ez az üres halmaz: ={}.
3. Ha a és b halmazok, akkor van olyan halmaz, amelynek pontosan a és b az elemei. Ez {a,b} halmaz, illetve ha a=b, akkor az {a} halmaz.
4. Van olyan halmaz, amelynek eleme  és ha egy a halmaz eleme neki, akkor az {a} halmaz is eleme. (végtelen halmaz létezése).
5. Bármely halmazhoz van olyan halmaz, amely az adott halmaz elemeinek az egyesítése.
6. Minden halmaznak létezik hatványhalmaza. (Hatványhalmaz: egy adott halmaz összes részhalmazaiból álló halmaz.)
7. Ha A egy halmaz és T egy tulajdonság, amely a halmazelmélet fogalmaival definiálható, akkor létezik az A halmaz T tulajdonságú elemeinek a halmaza.
8. Ha A egy halmaz és f egy olyan függvény, amely a halmazelmélet fogalmaival definiálható, akkor, értelmezési tartománya az A halmaz, akkor az f függvény értékkészlete is halmaz.
9. Nem üres halmaznak mindig van tőle idegen eleme.
10. Ha egy A halmaz elemei páronként diszjunkt (közös rész nélküli) nem üres halmazok, akkor létezik olyan B halmaz, amelynek A halmaz minden elemével pontosan egy közös eleme van. (Kiválasztási axióma.)

Megjegyzés: Ez utóbbi axióma hasonló szerepet játszik, mint az euklideszi axiómáknál a párhuzamossági axióma.

Az idők során fogalmazódtak meg más axiómarendszerek is, például Neumann Jánosé. Ezek egyenértékűek a fenti axiómarendszerrel. Neumann János axiómarendszere azonban nem a “halmaz” és az “eleme” alapfogalmakra épül, hanem ezt a szerepet a “függvény” és az “argumentum” fogalmak veszik át.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.