Műveletek eseményekkel

A valószínűségi kisérletekben bekövetkező eseményekkel műveleteket lehet végezni.

Definíció:

Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor vagy az A vagy a B esemény bekövetkezik. (Legalább az egyik bekövetkezik, azaz ez megengedő vagy.) Jele: A+B.

Tétel:

Minden esemény előállítható elemi események összegeként.

Definíció:

Tetszőleges A és B események szorzata az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor az A és a B esemény is bekövetkezik.  Jele: A⋅B.

Az egymást kizáró  A és  B események szorzata (halmazának metszete) üres halmaz: A∩B=∅.

Definíció:

Egy esemény komplementer (ellentett) az az esemény, amely akkor következik be, amikor az adott esemény nem. 

Jelölés: Az A esemény komplementer eseményét ​\( \overline{A} \)​-val jelöljük. Egy adott esemény és komplementere egymást kizáró események.

Komplementer esemény komplementere az eredeti esemény. ​\( \overline{\overline{A}}=A \)​

Feladat:

Legyen a kísérlet, hogy két szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Jelentse A azt az eseményt, hogy a dobott pontok összege 9-nél nagyobb, B azt, hogy az egyik kockán felül 6-os van.
Mit jelentenek A+B és az A⋅B, az ​\( \overline{A} \)​ és az  ​\( \overline{B} \)​ események?

 

 

Érdemes egy táblázatban szemléltetni az eseményteret.

Dobott pontok	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

A fenti kísérletben az eseménytér 6⋅6=36 elemű.

Az A esemény elemei: (4;6), (5;5), (5;6), (6;4); (6;5) és (6;6).
Az A eseményt tehát 6 elemi esemény alkotja.

A B esemény elemei: (1;6), (2;6), (3;6), (4;6), (5;6), 6;1), (6;2); (6;3), (6;4); 6;5), (6;6),.
A B eseményt tehát 11 elemi esemény alkotja.

Az A+B esemény elemei: (4;6), (5;5), (5;6), (6;4); (6;5) ,(6;6), (1;6), (2;6), (3;6),  6;1), (6;2); (6;3).
Az A+B eseményt tehát 12 elemi esemény alkotja.

Az A⋅B eseményt alkotó elemi események:  (4;6),  (5;6), (6;4); (6;5) és (6;6).
Az A⋅B összetett esemény 5 elemi eseményből áll.

Az ​\( \overline{A} \)​ esemény azoknak a dobásoknak a halmaza, ahol a két kockán lévő dobott számok összeg 10-nél kisebb. 30 ilyen elemi esemény van.

A ​\( \overline{B} \) ​esemény azoknak az eseményeknek az összessége, amikor nem dobtunk 6-ost. 25 ilyen elemi esemény van.

Az A⋅B eseményt tehát 5 elemi esemény alkotja.

Az események algebrája (eseményalgebra) nagyon sok közös vonást mutat mind a halmazokkal kapcsolatos műveletek, mind a logikai műveletek algebrájával.