Integrálás helyettesítéssel

A helyettesítési integrálás formulája:

Az összetett függvény differenciálási szabálya és a Newton-Leibniz formula segítségével igazolható az alábbi étel:

​\( \int_{g(a)}^{g(b)}{ f(x)dx}=\int_{a}^{b}{ f(g(t))·g'(t)dt} \)​.

Figyelem: A helyettesítés módszerének alkalmazásánál az eredeti határok megváltozhatnak.

Példa:

Határozzuk meg a ​\( \int_{0}^{\frac{ π }{2}}{sin(2x)dx } \)​ integrál értékét!

Megoldás:

Legyen 2x = t. Ez a belső függvény. Ekkor ​\( dx=\frac{1}{2}dt \). Az új határok így [0; π].

Ekkor: ​\( \int_{0}^{\frac{ π }{2}}{sin(2x)dx }=\frac{1}{2}·\left [-cos(x) \right ]_{0}^{ π }=\frac{1}{2}·\left\{ -(-1)-(1) \right\}=1 \)​.

Feladat

Határozzuk meg a határozott integrál segítségével a kör területét!

Megoldás

Azt természetesen tudjuk, hogy a kör területe: r²⋅π. A kérdés csak az, hogy a határozott integrál segítségével hogyan tudjuk ezt ilyen módon is kiszámítani.

Elegendő az origó középpontú félkör területével foglalkozni. Ez ugyanis felírható függvényként: ​\( f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}} \)​.
A félkör területe tehát: ​\( T_{félkör}=\int_{-r}^{r}{ \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx} \)​.

Fejezzük ki az „x” változót szögfüggvény segítségével: x = r⋅cos(t). Ekkor „t” értéke π és 0 között változik., azaz a [-r;r] intervallumnak a[π;0] intervallum felel meg.

Az ​\( f(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}} \)​ függvény tehát „t” függvényeként:  ​\( f(t)=\sqrt{r^{2}(1-cos^{2}(t)}=r·sin(t) \)​.

A belső függvény deriváltja:  [r⋅cos(t)]’=-r⋅sin(t).

Így a helyettesítéses integrálás szabály szerint: ​\( \int_{-r}^{r}{ \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx}=\int_{ π }^{0}{\left(rsin(t)(-rsin(t) \right) dt} \)​.

Kiemelve r²-t és felcserélve az integrálási határokat: ​\( \int_{ π }^{0}{\left(rsin(t)(-rcos(t) \right) dt}=r^{2}\int_{0}^{ π }{sin^{2}(t) dt} \)​.

\[ r^{2}\int_{0}^{ π }{sin^{2}(t) dt}=r^{2}\int_{0}^{ π }{\frac{1-cos(2t)}{2} dt}=\frac{r^{2}}{2}\left(\int_{0}^{ π }{dt }-\int_{0}^{ π }{ } cos(2t)dt \right) . \]

Ez a Newton-Leibniz formula alapján:

\[ \frac{r^{2}}{2}\left(\int_{0}^{ π }{dt }-\int_{0}^{ π }{ } cos(2t)dt \right) =\frac{r^{2}}{2}\left(\left [t \right ]_{0}^{ π }-\left [\frac{-sin2t}{2} \right ]_{0}^{ π } \right) =\frac{r^{2} π }{2}+\frac{sin(2 π) }{2}=\frac{r^{2} π }{2} \].

Ezt az eredményt vártuk.
.