Számelmélet alaptétele

Definíció:

Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van.

Számelmélet alaptétele:

Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható prímszámok szorzataként.

Például:

​\( 72=2·2·2·3·3=2^{3}·3^{2} \)​ Ez utóbbi hatványkitevős alakot a számok kanonikus alakjának nevezzük.
Általában: ​\( n=p_{1}^{k}·p_{2}^{l}·p_{3}^{m}·p_{4}^{n}·…·p_{n}^{i} \)​.

A tétel bizonyítása két részből áll.

1. Felbontás létezik.
Legyen n egy tetszőleges 1-nél nagyobb természetes szám. Vizsgáljuk meg 2-től kezdve sorban az egyes prímszámokat, hogy osztói-e az adott n számnak. (Elegendő n szám négyzetgyökéig nézni.) Ha nem találunk prímosztót, akkor a szám nem összetett, hanem prím. Ha találunk prímosztót, akkor n=p₁⋅n₁ alakba irható, ahol p₁ a talált prímosztó. Ebben az esetben folytassuk az eljárást n₁-re. Mivel n₁<n, ezért ez az eljárás véges számú lépésben be fog fejeződni, és előállítottuk n-t prímszámok szorzataként, azaz n=p₁^k_⋅p₂^l _⋅p₃^m_⋅p₄ⁿ_⋅…⋅p_nⁱ

2. A felbontás egyértelmű.
Tegyük fel, hogy létezik kétféle felbontás (indirekt okoskodás), azaz n=p₁⋅p₂⋅p₃⋅…⋅p_k= q₁⋅q₂⋅q₃⋅…⋅q_l. egyenlet felírható. Itt feltételezhetjük, hogy minden p különbözik minden q-tól. ha nem így lenne, az egyező tényezőkkel egyszerűsíthetünk. Mivel az egyenlet baloldala osztható p₁-el, akkor a jobboldalnak is oszthatónak kell lennie. Ez pedig lehetetlen, hiszen q₁, q₂, q₃, …q_l p₁-től különböző prímszámok. Ezzel bebizonyítottuk, az n összetett szám a prímtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen bontható fel prímtényezők szorzatára.

Már Fermat is sokat foglalkozott egy adott szám összes osztójának meghatározásával.

• Az egyik kézenfekvő megoldás az, ha felírjuk az összes osztót, praktikusan osztópáronként. Például 72 osztói: 1, 72, 2, 36, 3, 24, 4, 18, 6,12, 8, 9. Tehát a 72-nek 12 db osztója van.
• Egy másik megközelítés abból indul ki, hogy egy szám osztója csak olyan prímtényezőt tartalmazhat, amelyik megvan az eredeti számban is. Például 72 osztója vagy tartalmazza a 2-t vagy nem, de ha tartalmazza, akkor 1-szer, vagy 2-szer, maximum 3-szor. Így ez 4 lehetőség. Ugyanígy vagy tartalmazza a 3-t, vagy nem, de ha tartalmazza, akkor 1-szer, vagy 2-szer tartalmazhatja. Ez 3 lehetőség. Így a 72-ben lévő három darab 2-sel és két darab 3-sal (3+1)⋅(2+1)=4⋅3=12 darab számot tudunk készíteni, és ezek mindegyike osztója lesz a 72-nek.

Általában ha n=p₁^k⋅p₂^l ⋅p₃^m⋅p₄ⁿ_⋅…⋅p_nⁱ  alakú, akkor a szám összes osztóinak száma =(k+1)⋅(l+1)⋅(m+1)⋅(n+1)⋅…⋅(i+1), azaz a szám prímtényezős felbontásában szereplő kitevőket 1-gyel megnövelve összeszorozzuk.

Négyzetszámoknak páratlan számú osztója van, hiszen a négyzetszámok kanonikus alakjában minden hatványkitevő páros, ezért az osztók számának meghatározásánál minden tényező páratlan lesz.

Feladat:

Hány pozitív osztója van a 2700-nak?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 4051. feladat.)

Megoldás:

Mivel 2700 kanonikus alakja: 2²⋅3³⋅5², ezért a fenti képlet szerint: (2+1)⋅(3+1)⋅2+1)=3⋅4⋅3=36. Tehát 2700-nak 36 darab osztója van.
Ha elő is akarjuk állítani az összes osztót, akkor ebben segíthet a táblázatos elrendezés:

20	30	50
21	31	51
22	32	52
	33

Ha a táblázat minden elemét összeszorozzuk a többi oszlop minden elemével az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk mind a 36 osztót. ⋅Például: 2⁰⋅3⁰⋅5⁰=1; 2⁰⋅3⁰⋅5¹=5; 2⁰⋅3⁰⋅5²=25; 2⁰⋅3¹⋅5⁰=3; stb.

Az első oszlopból 3 féleképpen választhatunk, a másodikból 4 féleképpen, a harmadikból ismét 3 féleképpen, így összesen 3⋅4⋅3=36 különböző számot fogunk kapni.

Amennyiben érdekelnek az összetett számokkal kapcsolatos további ismeretek (tökéletes, hiányos, bővelkedő, barátságos, társas számok, stb.) akkor katt ide.