Hérón képlet

Hérón görög matematikusról elnevezett képlet segítségével a háromszög területe könnyen kiszámítható a három oldal ismeretében.

A Héron képlet:

\( t=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)} \)  ahol s a háromszög kerületének a fele, azaz  ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​.

Ezt az összefüggést valószínűleg Arkhimédész fedezte fel, de Hérón bizonyította be elsőként.

A képlet levezetése:

Induljunk ki a háromszög területének közismert képletéből: ​\( t=\frac{a·m_{a}}{2} \)
Mivel a magasságot nem ismerjük, fejezzük ki ma-t a megadott három oldal segítségével!

Az ma magasság a szemben lévő oldalt két szakaszra bontja. Jelöljük a BD szakaszt y-nal. BD=y, így DC=a-y.

Ennek érdekében írjunk fel két összefüggést Pitagorasz tétele segítségével: az ABD és DCA háromszögekben:

\( c^{2}=y^2+{m_{a}}^2 \)
\( b^{2}=(a-y)^2+{m_{a}}^2 \)

Az egyenletrendszerből fejezzük ki y-t:

\( b^{2}=(a-y)^2+c^2-y^2 \)
​​\( b^2=a^2-2ay+y^2+c^2-y^2 \)
\( 2ay=a^2+c^2-b^2 \)
\( y=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \)

Ezt helyettesítsük vissza az ABD háromszögben felírt Pitagorasz tételbe:

\( c^2=\left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right) ^2+{m_{a}}^2 \)

Fejezzük ki ebből ma-t!

\( {m_{a}}^2=c^2-\left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right) ^2 \)​, azaz
\( {m_{a}}^2=\frac{4a^2c^2-\left( a^2+c^2-b^2 \right) }{4a^2}^2 \)
\( m_{a}=\sqrt{\frac{4a^2c^2-\left( a^2+c^2-b^2 \right) }{4a^2}^2} \)

Ezt helyettesítsük be a háromszög területének jól ismert képletébe:

\( t=\frac{a·m_{a}}{2} \)​,​azaz  \( t=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{4a^2c^2-\left( a^2+c^2-b^2 \right) }{4a^2}^2} \)

Vigyük be ​\( \frac{a}{2} \)​-t a négyzetgyök alá és egyszerűsítsünk \( \frac{a}{2} \)​-vel:

 ​\( t=\sqrt{\frac{4a^2c^2-\left( a^2+c^2-b^2 \right) }{16}^2} \)

A kapott összefüggés már ebben az alakjában is alkalmas arra, hogy a három oldalból kiszámítsuk a háromszög területét. Azonban egy kis átalakítással az állításban szereplő egyszerűbb alakhoz juthatunk a következő módon:
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt a számlálóban két négyzet különbsége szerepel, így a jól ismert x2-y2=(x-y)(x+y) azonosságot felhasználva a számláló szorzattá alakítható.

A számlálóban szereplő két tényezős szorzatot a fent említett azonossággal tovább tudjuk bontani immár négy tényezős szorzattá:

Mivel  ​\( s=\frac{a+b+c}{2} \)​, így ​\( \frac{b+c-a}{2}=\frac{a+b+c-2a}{2}=s-a \)​ és ​\( \frac{a+c-b}{2}=\frac{a+b+c-2b}{2}=s-b \) és  ​\( \frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b+c-2c}{2}=s-c \)
Így ezt felhasználva a bizonyítandó állítást kapjuk, vagyis:

 \( t=\sqrt{s(s-a)(s-b(s-c)} \) 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.