Pitagorasz tétele

Pitagorasz tétele:

A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.

A mellékelt ábra jelölései szerint: a2+b2=c2.

A tétel bizonyítása:

Készítsünk két darab (a+b) oldalú négyzetet az alábbi módon, ahol “a” és “b” a derékszögű háromszög befogói. (Ez a “csel”.) A két darab  (b+a) oldalú négyzetek területe nyilvánvalóan egyenlő.

A tétel bizonyításában felhasználjuk azt az euklideszi axiómát, hogy “Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők.”

 

A mellékelt négyzetben kaptunk 4 darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget, és egy “a” illetve “b” oldalú négyzetet. Ezek területe a2 és b2 területegység.

Ebben a másik négyzetben is megtalálható ez a 4 darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszög, amelynek átfogója “c“. Így tehát a középső PQRS síkidom minden oldala “c”. Be kell még látni, hogy csúcsainál derékszög van. Mivel azonban az eredeti háromszögben α+β=90°, ezért ennek a síkidomnak minden szögére 180°-(α+β )=90°. Tehát a PQRS síkidom négyzet, területe pedig c2.

Ha mindkét négyzetből elvesszük a 4 darab derékszögű háromszöget, a maradékok területe is egyenlő, azaz a2+b2=c2.

A tétel megfordítása:

Ha egy háromszög két oldalára emelt négyzetek területének összege egyenlő a harmadik oldalra emelt négyzet területével, akkor a háromszög derékszögű.

Bizonyítás:

Legyen adott egy ABC háromszög, amelynek oldalaira teljesül, hogy két oldalára emelt négyzetek területének összege egyenlő a harmadik oldalra emelt négyzet területével. A mellékelt ábra jelölései szerint: a2+b2=c2.  Be kell bizonyítani, hogy az ABC háromszög derékszögű.

Vegyünk most fel egy “a” és “b” befogójú derékszögű háromszöget. Ennek átfogóját jelöljük “c’“-vel. Erre a háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel, tehát a2+b2=c‘2.

A két összefüggés csak akkor lehet egyszerre igaz, ha c2=c‘2.

Ez viszont azt jelenti, hogy a két háromszög egybevágó, tehát az eredeti ABC háromszög is derékszögű.

Az összefüggés a befogó tétel, a szelő tétel vagy a koszinusz tétel segítségével is bizonyítható, de ezeken kívül is számos bizonyítása ismeretes még.

A tételt már ismerték Pitagorasz előtt is. Például az egyiptomi Rhind-papiruszon szerepel egy 3; 4; 5 oldalú háromszög. A babilóniai agyagtábla pitagoraszi számhármasokat tartalmaz. Úgy tudjuk, a tételt Pitagorasz bizonyította elsőként.

Feladat:

Szerkesszünk egy egységnyi befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget és számítsuk ki az átfogó hosszát!
Majd ennek a háromszög átfogójának egyik végpontjában emeljünk merőlegesen egy egységnyi hosszúságú szakaszt! Így kapott pontot összekötve átfogó másik végpontjával, kapunk egy újabb derékszögű háromszöget. Határozzuk meg ennek az átfogónak a hosszát!

Megoldás:

Az ABC egyenlőszárú derékszögű háromszög AB (c1) átfogóját a Pitagorász tétel segítségével tudjuk kiszámítani: ​\( c_1^{2}=1^{2}+1^{2}=2 \)​. Így ​\( c_1=\sqrt{2}≈1.41 \)​.

A B pontban emelt egységnyi hosszúságú szakasz D végpontját összekötve az eredeti háromszög A pontjával, kapjuk az ABD derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója egységnyi, a másik befogója az eredeti háromszög AB átfogója amelynek hossza \( c_1=\sqrt{2}≈1.41 \)​. Ennek az ABD derékszögű háromszögnek az átfogóját szintén a Pitagorasz tétel segítségével kiszámolva: ​\( c_{2}^2=\sqrt{2}^{2}+1^{2}=3 \). Így ​\( c_{2}=\sqrt{3}≈1.73 \)​. Lásd a mellékelt ábrát!

Folytassuk ezt az eljárást! A kapott ADB derékszögű háromszögre emeljünk hasonló módon egy következő derékszögű háromszöget! És így tovább.

Így ez az  alakzat jön létre.:

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.