Pitagoraszi számhármasok

Definíció:

Pitagoraszi számhármason három olyan pozitív egész szám együttesét értjük, amelyek kielégítik az x2+y2=z2 egyenletet. x;y;z∈ℤ.

Ennek a speciális diophantoszi egyenletnek nyilvánvaló megoldása például x=3, y=4 és z=5.

A pitagoraszi számhármasokkal mint oldalhosszúságokkal szerkesztett háromszögek mindig derékszögűek lesznek, hiszen megfelelnek Pitagorasz tételének.

Természetesen egy számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas. Így például a 6, 8, 10.
A nagyobb számok között azonban egyre ritkábbak azok a pitagoraszi számhármas, amelyek ne lennének valamelyik kisebb számhármas többszörösei.

A pitagoraszi számhármasok előállítási módját Pitagorasz követői, a püthagoreusok találták meg.

A felső sorban a négyzetszámok, az alsó sorban pedig a páratlan számok vannak. Az alsó sorban található négyzetszám a felső sorban a “felette” lévő két négyzetszámmal együtt pitagoraszi számhármast alkot.

Azt hogy végtelen sok ilyen számhármas van, Eukleidész bizonyította be először.

Az alábbi formulával pitagoraszi számhármasokat tudunk előállítani:
(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2. Itt m és n tetszőleges pozitív egész számok, ahol m>n.

Ha azt akarjuk, hogy a kapott számhármasok “függetlenek” legyenek, azaz ne legyenek egy kisebb számhármas többszörösei, akkor az m és n változókra a következő kikötést kell tenni:

1. Az m és n számok különböző paritásúaknak kell lenniük. (egyik páros, másik páratlan.)
2. Relatív prímek legyenek, azaz (m,n)=1

Egy pár példa:

m n x y z x2 y2 z2
2 1 3 4 5 9 16 25
3 2 5 12 13 25 144 169
4 3 7 24 25 49 576 625
4 1 15 8 17 225 64 289
5 4 9 40 41 81 1600 1681

A pitagoraszi számhármasokkal már a babilóniai régészeti leleteken is találkozhatunk, és az ókori egyiptomiak és kínaiak is ismerték, mint tapasztalati tényt.

A pitagoraszi számhármasok kapcsán viszonylag hamar felvetődött a kérdés, hogy van-e ennek “térbeli megfelelője”, azaz vannak-e olyan pozitív egész számok, amelyekre az x3+y3=z3 összefüggés igaz.

Vagyis lehet-e két darab egységnyi oldalú építőkockákból álló kockából kirakni egy harmadik kockát. Ha például megpróbálunk egy 6, illetve 8 egységnyi oldalhosszúságú kockákból összerakni egyet, akkor tudunk ugyan egy 9 oldalhosszúságú “kockát” építeni, de egy kis kocka hiányozni fog:
63+83=93-1.

Később még általánosabban fogalmazták meg a problémát, és keresték az xn+yn=zn egyenlet megoldásait, ahol x, y, z pozitív egész számok és n>2.

Fermat volt az aki először leírta, hogy ennek a feladatnak nincs megoldása, és ezt a feljegyzése szerint be is tudja bizonyítani. Ezt a bizonyítását azonban soha nem írta le. Így maradt rajta a név: Fermat sejtés. Csak 1993-ban sikerült Andrew Wiles-nak, egy angol matematikusnak a tétel bizonyítása.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.