Háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást

Állítás:

A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja két részre úgy, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felől van. Azaz: AS:SE=BS:SF=CS:SD=”2:1″

Bizonyítás:

 

 

Húzzuk meg az A és a B csúcsból induló súlyvonalakat. Ezeknek a szemközti oldalon lévő metszéspontját jelöljük E ill. F betűvel. A két súlyvonal metszéspontja S.

 

 

1. FE szakasz az ABC háromszög középvonala, ezért FE párhuzamos AB-vel, és FE=AB/2.
2. Az ABS háromszög hasonló EFS háromszöghöz, mert szögeik egyenlők. Hiszen egyrészt ASB ∠ =ESF ∠ (csúcsszögek), másrészt ABS∠ =EFS∠ (váltószögek).
3. Mivel FE=AB/2, ezért ASB és ESF háromszögek hasonlósági aránya 2:1.
Így AS:SE=2:1, és BS:SF=2:1. Ezt akartuk bizonyítani.

Mivel a bizonyításnál két tetszőleges súlyvonalra láttuk be az állítást, ezért ez a harmadik súlyvonalra is igaz.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.