Derékszögű háromszögek befogó tétele

Ezt a tételt a magasság tétellel együtt szokás a derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételeknek is nevezni.

Állítás:

Derékszögű háromszögben a háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetületének.

A mellékelt ábra betűzése szerint: ​: ​\( a=\sqrt{c·y} \)​  és  ​\( b=\sqrt{c·x} \)

Bizonyítás:

Az AB átfogóhoz tartozó magasság az ABC háromszöget két derékszögű háromszögre, az ATC és a BTC háromszögekre  bontja.

Ezek háromszögek mindketten hasonlítanak az eredeti ABC háromszöghöz, mivel ezek is derékszögűek, és az egyik hegyes szögük közös. Az ATC háromszögben az α szög, míg a BTC háromszögben a ß szög közös. Emiatt persze a két kisebbik háromszög egymásra is hasonlít. Tehát: ABCΔ ~ ATCΔ~ BTCΔ.

Az ABC háromszögben az “a” befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete a BT szakasz (y), míg a “b” befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete az AT szakasz (x).

A bizonyítást most az “a” befogóra vezetjük le.
Mivel az ABCΔ ~ BTCΔ , ezért a megfelelő oldalainak aránya egyenlő. Azaz:  AB:BC=BC:TB, vagyis c:a=a:y.
Hiszen a “c” oldal az ABCΔ-ben átfogó, míg a BTCΔ-ben az “a” oldal az átfogó.
A fenti aránypárt szorzat alakba írva: a2=c⋅y. Ez azt jelenti, hogy az “a” befogó mértani közepe az átfogónak és az átfogóra eső merőleges vetületének: ​\( a=\sqrt{c·y} \)

A tételt a másik “b” befogóra hasonlóképpen láthatjuk be.

Megjegyzés: A befogó tétel segítségével a Pitagorasz tételének egy újabb bizonyításához jutottunk.

Hiszen: a2=c⋅y. és b2=c⋅x. Így a2 + b2 =c⋅y+c⋅x.
Itt c-t kiemelve: a2 + b2 =c⋅(y+x).  De y+x=c miatt a2 + b2 =c2.

Feladat:

A derékszögű háromszög átfogójához magassága az átfogót harmadolja. A háromszög legkisebb oldala 4 cm. Mekkora a többi oldal?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 1949. feladat.)

Megoldás:

 A feltételek szerint a mellékelt ábra jelöléseit használva: AT=x, TB=y=2x, és AC=b=4.
Mivel c=x+y, ezért c=3x.
A befogó tétel szerint b=c*x, tehát
42=3⋅x⋅x. Azaz 16=3⋅x2.

Ebből ​\( x=\frac{4}{\sqrt{3}} \)​. Mivel c=3x, ezért ​\( c=\frac{12}{\sqrt{3}} \)​. A nevezőt gyöktelenítve: ​\( c=\frac{12·\sqrt{3}}3=4·\sqrt{3} \)​.
A hosszabbik “a” befogó már Pitagorasz tételével is számolható. a2=c2-b2, azaz: . Ebből ​\( a^{2}=(4·\sqrt{3})^{2}-4^{2}=48-16=32 \)​.
Tehát ​\( a=4\sqrt{2} \)​.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.