Számtani közép, mértani közép, négyzetes közép, harmonikus közép

Definíció:

Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük.

A számtani közepet szokás aritmetikai középnek is nevezni, és “A” betűvel jelölni.

Formulával: ​\( A(a;b)=\frac{a+b}{2} \) , ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0.

Például: Ha a=8; b=10, akkor A(8;10)=(8+10)/2=9.

Két szám számtani közepe ugyanannyival nagyobb az egyik számnál, mint amennyivel kisebb a másiktól.

A számtani közepet értelmezhetjük nemcsak két, hanem több számra is.

Ekkor: ​\( A(a_{1};a_{2};a_{3};…a_{n-1};a_{n})=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n-1}+a_{n}}{n} \)
Köznapi értelemben átlagnak is mondjuk, és ebben az értelemben pozitív és negatív számokra is értelmezhetjük.

Definíció:

Két nemnegatív szám mértani közepének a két szám szorzatának négyzetgyökét nevezzük.

A mértani közepet szokás geometria középnek is nevezni, és “G” betűvel jelölni.

Formulával: ​\( G(a;b)=\sqrt{a·b} \)​, ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0.

Például: Ha a=8; b=10, akkor ​\( G(8;10)=\sqrt{8·10}≈8,94 \)​.

A mértani közepet értelmezhetjük nemcsak két, hanem több számra is.

Ekkor: ​​\( G({a_{1};a_{2};a_{3};…a_{n-1};a_{n}})=\sqrt[n]{a_{1}·a_{2}·a_{3}·…·a_{n-1}·a_{n}} \)

Ha az “n” gyökkitevő páros, akkor a számok csak nem-negatívak lehetnek. 

Két szám mértani közepét felfoghatjuk, mint egy speciális aránypárt. Ezt négyzetes formában, majd aránypárként felírva:

m2=ab
a:m=m:b.

Azaz a mértani középnek (m) az egyik számmal (a) való aránya megegyezik a másik számnak (b) és a mértani középnek (m) arányával.

A számtani és a mértani közép között érvényes az az összefüggés, hogy a mértani közép nem nagyobb, mint a számtani közép: G(a;b)≤A(a;b)

A számtani és a mértani közép között az egyenlőség akkor áll fent, ha a számok egyenlők. Ezt az összefüggést a számtani és mértani közép tételénél bizonyítjuk be.

A számtani és mértani középen kívül értelmezzük még a számok négyzetes és a harmonikus közepét is.

Definíció:

Két nemnegatív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk.
A négyzetes közepet szokás “N” betűvel jelölni.

Formulával: ​\( N(a,b)=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \)​, ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0

Például: Ha a=8; b=10, akkor  ​\( N(8,10)=\sqrt{\frac{8^{2}+10^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{164}{2}}=\sqrt{82}≈9,06 \)

Definíció:

Két pozitív szám harmonikus közepe a két szám reciprokából számított számtani közép reciproka.
A harmonikus közepet szokás “H” betűvel jelölni.

Formulával: ​\( H(a;b)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \)=\( \frac{2·a·b}{\left(a+b\right) } \)​, ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0

Például: Ha a=8 és b=10, akkor​\( H(8;10)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{10}}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{8}+\frac{1}{10}}=\frac{2}{\frac{9}{40}}=2·\frac{40}{9}≈8,9 \)

A különböző közepek közötti összefüggések két változó esetén: H(a;b)≤G(a;b)≤A(a;b)≤N(a;b), ahol a;b∈ℝ​; a≥0; b≥0

A különböző középértékeket Pitagorasz követői vezették be, még az ókorban. Hippokratész a kocka kettőzésének feladatát két mértani középarányos meghatározására vezette vissza.

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.