Ez a tétel a következő három állítást és azok bizonyítását tartalmazza:
- Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők.
- Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
- Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.
Segédtétel:
Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők.
Bizonyítás:
Legyen adott egy ABCΔ, amelynek két oldala (AC=BC) egyenlő. Húzzuk meg ennek a két egyenlő oldalnak a metszéspontjából (C) a harmadik oldalhoz (AB) tartozó oldalfelező merőlegest. Ez két egybevágó háromszögre bonja a háromszöget.
AFCΔ≅BFCΔ, hiszen AC=CB a feltétel szerint, továbbá AF=FB, mivel FC oldalfelező merőleges, és mindkét háromszög derékszögű.
Mivel AFCΔ≅BFCΔ, ezért a CAF∠=FBC∠ (α=β), azaz egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak.
Most a fenti állítás második részét fogjuk bizonyítani, azaz:
Tétel:
Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.
Legyen adott egy háromszög, amelyben AC<CB.
Azt kell belátnunk, hogy a nagyobb CB oldallal szemközti α szög nagyobb a kisebb AC oldallal szemközti β szögnél, azaz bizonyítandó, hogy ha AC<CB, akkor β<α.
Mérjük rá a rövidebb AC oldalt a hosszabbik CB oldalra a C csúcsból. Így kapjuk az A’ pontot a CB szakasz belső pontjaként, illetve az AA’C egyenlőszárú háromszöget. A fenti segédtétel alapján mondhatjuk, hogy A’AC∠=AA’C∠=ζ.
A α>ζ, hiszen AA’ egyenes az ABCΔ belsejében halad Másrészt ζ>β, mert ζ az AA’BΔ külső szöge.
Azt kaptuk tehát, hogy α>ζ >β, tehát α>β.
És ezt kellett igazolni.
Tétel:
Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.
Vegyünk fel egy ABCΔ, amelyről tudjuk, hogy BAC∠>ABC∠, azaz α>β.
Bizonyítandó, hogy CB>AC.
Ezt indirekt módon fogjuk igazolni.
Tegyük fel, hogy CB=AC. Azt már beláttuk, hogy egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, azaz α=β lenne igaz. Ez azonban ellene mond az eredeti feltételnek.
Ugyanígy, ha CB<AC, akkor az előző állítás szerint kisebb oldallal szemben kisebb szög van, tehát α<β lenne igaz. Ez azonban ellene mond az eredeti feltételnek.
Tehát CB=AC esetén és CB<AC esetén is ellentmondásra jutottunk, ez azt jelenti, hogy csak CB>AC lehet igaz.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.