Nevezetes sorozatok határértéke

A) Számtani sorozatok konvergenciája

A számtani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (a₁) és differenciája d. A hozzárendelési szabály: a_n=a₁+(n-1)⋅d.

A számtani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás  és határérték szempontjából.

1. A sorozat differenciája d>0.  Ebben az esetben a sorozat alulról korlátos, alsó korlátja k=a₁, felülről nem korlátos, szigorúan monoton nő és tart a plusz végtelenhez: ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=+∞ \)​. Tehát nem konvergens, hanem divergens.
2. A sorozat differenciája d=0. Ebben az esetben a sorozat konstans. Alulról is és felül is korlátos. A konstans sorozat monoton.
   A konstans sorozat konvergens és a határértéke természetesen a sorozat tagjaival egyenlő.
3. A sorozat differenciája d<0.  Ebben az esetben a sorozat felülről korlátos, felső korlátja K=a₁, alulról nem korlátos, szigorúan monoton csökken és tart a mínusz végtelenhez: ​\( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=-∞ \)​.

A számtani sorozat csak abban az esetben konvergens, ha d=0, azaz konstans sorozat.

B) Mértani sorozatok konvergenciája

A mértani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (c₁) és  kvóciens (q) esetén: ​\( c_{n}=c_{1}·q^{n-1} \)​.

A mértani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából.

A mértani sorozat viselkedése nemcsak a kvócienstől (q), hanem a sorozat első tagjától is függ.

Ha a mértani sorozat konstans, azaz q=1, vagy q=0, illetve =0, akkor a sorozat monoton és konvergens. Határértéke megegyezik a sorozat tagjaival: ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=c_{1} \)​.

Ha a mértani sorozat nem konstans (q≠1 és c₁≠0), akkor a következő esetek vannak:

1. Ha q>1  és c₁>0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton nő, alulról korlátos. A legnagyobb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.

2. Ha q>1 és c₁<0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton csökkenő, felülről korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.

3. Ha 0<q<1 és c₁>0 , akkor a mértani sorozat szigorúan monoton csökkenő, alulról és felülről  is korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​.

4. Ha 0<q<1 és c₁<0 , akkor a mértani sorozat szigorúan monoton nő, alulról és felülről  is korlátos. A legkisebb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​.

5. Ha –-1<q<0 c₁>0, akkor a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló), ugyanakkor korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja.  A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​.

6. Ha -1<q<0 c₁<0, akkor a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló), ugyanakkor korlátos. A legkisebb alsó korlát a sorozat első tagja.  A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​.

7. Ha q=-1 akkor az első tagjától függetlenül a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló) de korlátos. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.

8. Ha q<-1 akkor az első tagjától függetlenül a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló) és nem is korlátos. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.

Mértani sorozat csak abban az esetben konvergens, ha 0<|q|<1 vagy konstans sorozat, azaz vagy q=0 vagy 1, illetve c₁=0. Ebben az esetben ​\( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \)​.

C) A Fibonacci sorozat konvergenciája

A Fibonacci sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás  és határérték szempontjából.

A Fibonacci sorozat rekurzív szabálya: f₁=1; f₂=1; f_n=f_n-2+f_n-1.

Az első néhány Fibonacci-szám: 1; 1; 2;, 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; ….

A Fibonacci sorozat nyilván nem korlátos, de szigorúan monoton nő. Ugyan alulról korlátos, de felülről nem. Bármilyen nagy valós számnál is lesz nagyobb értékű tagja a sorozatnak. Ezért ​\( \lim_{ n \to \infty }f_{n}=+∞ \)​, tehát divergens.

D) Az ​\( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \)​ sorozat konvergenciája

A sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás  és határérték szempontjából.

Először számítsuk i a sorozat első néhány elemét!

​\( e_{1}=\left(1+\frac{1}{1} \right)^1=2 \)​; ​\( e_{2}=\left(1+\frac{1}{2} \right)^2=\left(\frac{3}{2}\right) ^2=2.25 \)​ ; ​\( e_{3}=\left(1+\frac{1}{3} \right)^3=\left(\frac{4}{3}\right) ^3≈2.37 \)​ ; ​\( e_{4}=\left(1+\frac{1}{4} \right)^4=\left(\frac{5}{4}\right) ^4≈2.44 \)​ ; ​\( e_{5}=\left(1+\frac{1}{5} \right)^5=\left(\frac{6}{5}\right) ^5≈2.49 \)​ ;…​\( e_{15}=\left(1+\frac{1}{15} \right)^{15}=\left(\frac{16}{15}\right) ^{15}≈2.63 \)​ ;… ​\( e_{100}=\left(1+\frac{1}{100} \right)^{100}=\left(\frac{101}{100}\right) ^{100}≈2.7 \)​;…​\( e_{200}=\left(1+\frac{1}{200} \right)^{200}=\left(\frac{201}{200}\right) ^{200}≈2.71 \)​;…

Ebből „úgy tűnik”, hogy a sorozat szigorúan monoton nő, igaz, egyre csökkenő mértékben.

Az alábbi animáció is ezt szemlélteti:

Természetesen sem a sejtés, sem a látvány nem bizonyít semmit.

Először be kell bizonyítani a monotonitást. Bizonyítandó, hogy e_n<e_n+1 !

Azaz: ​\( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \)​< ​\( e_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \)​.

Ennek igazolásához használhatjuk a számtani mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

​\( \sqrt[n]{a_{1}·a_{2}·…·a_{n}}≤\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n} \)​ .

Írjuk ezt fel n+1 tényezőre, ahol az első „n” darab tényező  ​\( \left(1+\frac{1}{n}\right) \)​, az n+1-edik tényező pedig 1.
Ekkor: ​\( \sqrt[{n+1}]{\left(1+\frac{1}{n}\right)·\left(1+\frac{1}{n} \right)·…·\left(1+\frac{1}{n} \right)·1 }≤\frac{n·\left( 1+\frac{1}{n} \right)+1 }{n+1} \)​.

Ezt (n+1)-edik hatványra emelve: ​\( \left(1+\frac{1}{n} \right) ·\left(1+\frac{1}{n} \right) ·…·\left(1+\frac{1}{n} \right) ·1=\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}≤\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \)​.

A sorozat szigorúan monoton nő, Az egyenlőség nem állhat fent, hiszen nem minden tényező volt ugyanaz.

Ezt kellett igazolni.

Korlátosság:

A sorozat nyilvánvalóan alulról korlátos, hiszen minden tagja pozitív. A sorozat felülről is korlátos. Ennek belátásához is a számtani – mértani közép közötti egyenlőtlenséget használhatjuk, de most n+2 tényezővel (n tényező a sorozat és még 2 darab ½).

​\( \sqrt[{n+2}]{\left(1+\frac{1}{n}\right)·\left(1+\frac{1}{n} \right)·…·\left(1+\frac{1}{n} \right)·\frac{1}{2} ·\frac{1}{2} }≤\frac{n·\left( 1+\frac{1}{n} \right)+2·\frac{1}{2} }{n+2}=1 \)​.

Az egyenlőtlenségeket n+2-edik hatványra emelve majd 4-gyel átszorozva: ​\( \left(1+\frac{1}{n} \right)^n<4 \)​  eredményt kapjuk.
Megjegyzés: Ez egy felső korlát, de nem a legkisebb felső korlát.

Mivel a sorozat szigorúan monoton nő és korlátos, ezért konvergens.

​\( \lim_{ n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e≈ \) 2.728281828459….

Az e számot elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste: ​\( \lim_{ n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \)​.

​Ezt határértékét Euler matematikus után Euler-féle számnak hívjuk és ezért „e”-vel jelöljük.
Ez a szám irracionális, sőt a π-hez hasonlóan transzcendens is. Ma már ennek a számnak is több tíz millió számjegye ismert.

Lásd: https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-f%C3%A9le_sz%C3%A1m

Lásd még az alábbi videót!