A) Számtani sorozatok konvergenciája
A számtani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (a1) és differenciája d. A hozzárendelési szabály: an=a1+(n-1)⋅d.
A számtani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából.
- A sorozat differenciája d>0. Ebben az esetben a sorozat alulról korlátos, alsó korlátja k=a1, felülről nem korlátos, szigorúan monoton nő és tart a plusz végtelenhez: \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=+∞ \). Tehát nem konvergens, hanem divergens.
- A sorozat differenciája d=0. Ebben az esetben a sorozat konstans. Alulról is és felül is korlátos. A konstans sorozat monoton.
A konstans sorozat konvergens és a határértéke természetesen a sorozat tagjaival egyenlő. - A sorozat differenciája d<0. Ebben az esetben a sorozat felülről korlátos, felső korlátja K=a1, alulról nem korlátos, szigorúan monoton csökken és tart a mínusz végtelenhez: \( \lim_{ n \to \infty }a_{n}=-∞ \).
A számtani sorozat csak abban az esetben konvergens, ha d=0, azaz konstans sorozat.
B) Mértani sorozatok konvergenciája
A mértani sorozat definíciója: Adott a sorozat első tagja (c1) és kvóciens (q) esetén: \( c_{n}=c_{1}·q^{n-1} \).
A mértani sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából.
A mértani sorozat viselkedése nemcsak a kvócienstől (q), hanem a sorozat első tagjától is függ.
Ha a mértani sorozat konstans, azaz q=1, vagy q=0, illetve =0, akkor a sorozat monoton és konvergens. Határértéke megegyezik a sorozat tagjaival: \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=c_{1} \).
Ha a mértani sorozat nem konstans (q≠1 és c1≠0), akkor a következő esetek vannak:
1. Ha q>1 és c1>0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton nő, alulról korlátos. A legnagyobb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.
2. Ha q>1 és c1<0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton csökkenő, felülről korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.
3. Ha 0<q<1 és c1>0 , akkor a mértani sorozat szigorúan monoton csökkenő, alulról és felülről is korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
4. Ha 0<q<1 és c1<0 , akkor a mértani sorozat szigorúan monoton nő, alulról és felülről is korlátos. A legkisebb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
5. Ha –-1<q<0 c1>0, akkor a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló), ugyanakkor korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
6. Ha -1<q<0 c1<0, akkor a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló), ugyanakkor korlátos. A legkisebb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben konvergens. Határértéke a 0, azaz \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
7. Ha q=-1 akkor az első tagjától függetlenül a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló) de korlátos. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.
8. Ha q<-1 akkor az első tagjától függetlenül a mértani sorozat nem monoton (oszcilláló) és nem is korlátos. A mértani sorozat ebben az esetben divergens.
Mértani sorozat csak abban az esetben konvergens, ha 0<|q|<1 vagy konstans sorozat, azaz vagy q=0 vagy 1, illetve c1=0. Ebben az esetben \( \lim_{ n \to \infty }c_{n}=0 \).
C) A Fibonacci sorozat konvergenciája
A Fibonacci sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából.
A Fibonacci sorozat rekurzív szabálya: f1=1; f2=1; fn=fn-2+fn-1.
Az első néhány Fibonacci-szám: 1; 1; 2;, 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; ….
A Fibonacci sorozat nyilván nem korlátos, de szigorúan monoton nő. Ugyan alulról korlátos, de felülről nem. Bármilyen nagy valós számnál is lesz nagyobb értékű tagja a sorozatnak. Ezért \( \lim_{ n \to \infty }f_{n}=+∞ \), tehát divergens.
D) Az \( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \) sorozat konvergenciája
A sorozat jellemezése korlátosság, monotonitás és határérték szempontjából.
Először számítsuk i a sorozat első néhány elemét!
\( e_{1}=\left(1+\frac{1}{1} \right)^1=2 \); \( e_{2}=\left(1+\frac{1}{2} \right)^2=\left(\frac{3}{2}\right) ^2=2.25 \) ; \( e_{3}=\left(1+\frac{1}{3} \right)^3=\left(\frac{4}{3}\right) ^3≈2.37 \) ; \( e_{4}=\left(1+\frac{1}{4} \right)^4=\left(\frac{5}{4}\right) ^4≈2.44 \) ; \( e_{5}=\left(1+\frac{1}{5} \right)^5=\left(\frac{6}{5}\right) ^5≈2.49 \) ;…\( e_{15}=\left(1+\frac{1}{15} \right)^{15}=\left(\frac{16}{15}\right) ^{15}≈2.63 \) ;… \( e_{100}=\left(1+\frac{1}{100} \right)^{100}=\left(\frac{101}{100}\right) ^{100}≈2.7 \);…\( e_{200}=\left(1+\frac{1}{200} \right)^{200}=\left(\frac{201}{200}\right) ^{200}≈2.71 \);…
Ebből „úgy tűnik”, hogy a sorozat szigorúan monoton nő, igaz, egyre csökkenő mértékben.
Az alábbi animáció is ezt szemlélteti:
Természetesen sem a sejtés, sem a látvány nem bizonyít semmit.
Először be kell bizonyítani a monotonitást. Bizonyítandó, hogy en<en+1 !
Azaz: \( e_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \)< \( e_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \).
Ennek igazolásához használhatjuk a számtani mértani közép közötti egyenlőtlenséget:
\( \sqrt[n]{a_{1}·a_{2}·…·a_{n}}≤\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n} \) .
Írjuk ezt fel n+1 tényezőre, ahol az első „n” darab tényező \( \left(1+\frac{1}{n}\right) \), az n+1-edik tényező pedig 1.
Ekkor: \( \sqrt[{n+1}]{\left(1+\frac{1}{n}\right)·\left(1+\frac{1}{n} \right)·…·\left(1+\frac{1}{n} \right)·1 }≤\frac{n·\left( 1+\frac{1}{n} \right)+1 }{n+1} \).
Ezt (n+1)-edik hatványra emelve: \( \left(1+\frac{1}{n} \right) ·\left(1+\frac{1}{n} \right) ·…·\left(1+\frac{1}{n} \right) ·1=\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}≤\left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \).
A sorozat szigorúan monoton nő, Az egyenlőség nem állhat fent, hiszen nem minden tényező volt ugyanaz.
Ezt kellett igazolni.
Korlátosság:
A sorozat nyilvánvalóan alulról korlátos, hiszen minden tagja pozitív. A sorozat felülről is korlátos. Ennek belátásához is a számtani – mértani közép közötti egyenlőtlenséget használhatjuk, de most n+2 tényezővel (n tényező a sorozat és még 2 darab ½).
\( \sqrt[{n+2}]{\left(1+\frac{1}{n}\right)·\left(1+\frac{1}{n} \right)·…·\left(1+\frac{1}{n} \right)·\frac{1}{2} ·\frac{1}{2} }≤\frac{n·\left( 1+\frac{1}{n} \right)+2·\frac{1}{2} }{n+2}=1 \).
Az egyenlőtlenségeket n+2-edik hatványra emelve majd 4-gyel átszorozva: \( \left(1+\frac{1}{n} \right)^n<4 \) eredményt kapjuk.
Megjegyzés: Ez egy felső korlát, de nem a legkisebb felső korlát.
Mivel a sorozat szigorúan monoton nő és korlátos, ezért konvergens.
\( \lim_{ n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e≈ \) 2.728281828459….
Az e számot elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste: \( \lim_{ n \to \infty }\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \).
Ezt határértékét Euler matematikus után Euler-féle számnak hívjuk és ezért „e”-vel jelöljük.
Ez a szám irracionális, sőt a π-hez hasonlóan transzcendens is. Ma már ennek a számnak is több tíz millió számjegye ismert.
Lásd: https://hu.wikipedia.org/wiki/Euler-f%C3%A9le_sz%C3%A1m
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.