Konvergens sorozatok tulajdonságai

Tétel:

Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

Ez a határérték fogalmából következik.

Tétel:

Minden konvergens sorozat korlátos.

A korlátosság a sorozat konvergenciájának a szükséges, de nem elégséges feltétele.
A {(-1)n }sorozat nyilvánvalóan korlátos, de nem konvergens.

Tétel:

Minden monoton és korlátos sorozat konvergens.

Ez a tétel fontos és hasznos a határérték létezésének megállapítására, de sokszor nem elegendő a határérték meghatározására, kiszámítására.

A monotonítás azonban nem szükséges feltétele a konvergenciához.

Például: an=(-1/2)n. Ebben a sorozatban minden páros indexű tag pozitív; minden páratlan indexű tag negatív (oszcillál a sorozat), tehát nem monoton, de korlátos (k=-1/2;K=1/4) és konvergens. A sorozat tagjai két oldalról közelítenek a nullához, azaz  ​\( \lim_{ n \to \infty }=0 \)​.
Ha egy {an} sorozat végtelen sok tagját kiválasztjuk és az eredeti sorrendbe rendezzük, akkor az {an} sorozat egy {an*} részsorozatát kapjuk.

Tétel:

Konvergens {an} sorozat bármely {an*} részsorozata is konvergens és határértéke egyenlő az eredeti sorozat határértékével.

A következő tétel egyes esetekben segíthet határérték meghatározásában:

Tétel:

Ha {an}→A és {bn}→A és majdnem minden n-re (véges számú tag kivételével) ancnbn, akkor cn→A.

Azaz, ha {an} és {bn} sorozatoknak ugyanaz a határértéke és az {an} és {bn} sorozatok elemeire véges számú tag kivételével igaz az ancnbn egyenlőtlenség, azaz az {an} és {bn} sorozatok „közrefogják” a {cn} sorozatot, akkor a {cn} sorozat is konvergens és határértéke megegyezik az {an} és {bn} sorozatok határértékével.

Bizonyítás:

Mivel {an} és {bn} sorozatok konvergensek és határértékük megegyezik, ezért mindkét sorozatnak ugyanazon szám bármily kis sugarú környezetéből csak véges számú tag esik ki. De akkor ez igaz a {cn} sorozatra is, hiszen a {cn} többi tagjára igaz a ancnbn egyenlőtlenség.

Ezt a tételt szokás rendőr-elvnek vagy közrefogási szabálynak is nevezni.

Feladat:

Határozzuk meg a ​\( a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}} \)​ (n≥2) sorozat  határértékét!

Megoldás:

Tudjuk, hogy ​\( 1<a_{n}=\frac{n+1}{n-1}≤3 \)​. Így ​\( 1^{\frac{1}{n}}<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤3^{\frac{1}{n}} \)​.

Más alakban: ​\( 1<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤\sqrt[n]{3} \)​.

Mivel ​\( \lim_{ n \to \infty }1=1 \)​ és ​\( \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{3}=1 \)​.

A rendőr-szabályt alkalmazva:

\( \lim_{ n \to \infty }\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}=1 \)​.

Definíció:

Az {an} sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha bármely pozitív ε–hoz megadható olyan ε-tól függő N küszöbszám, hogy bármely n, m esetén |anam|<ε.

Tétel:

Egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.

 

Print Friendly, PDF & Email

Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.