Konvergens sorozatok tulajdonságai

Tétel:

Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

Ez a határérték fogalmából következik.

Tétel:

Minden konvergens sorozat korlátos.

A korlátosság a sorozat konvergenciájának a szükséges, de nem elégséges feltétele.
A {(-1)ⁿ }sorozat nyilvánvalóan korlátos, de nem konvergens.

Tétel:

Minden monoton és korlátos sorozat konvergens.

Ez a tétel fontos és hasznos a határérték létezésének megállapítására, de sokszor nem elegendő a határérték meghatározására, kiszámítására.

A monotonítás azonban nem szükséges feltétele a konvergenciához.

Például: a_n=(-1/2)ⁿ. Ebben a sorozatban minden páros indexű tag pozitív; minden páratlan indexű tag negatív (oszcillál a sorozat), tehát nem monoton, de korlátos (k=-1/2;K=1/4) és konvergens. A sorozat tagjai két oldalról közelítenek a nullához, azaz  ​\( \lim_{ n \to \infty }=0 \)​.
Ha egy {a_n} sorozat végtelen sok tagját kiválasztjuk és az eredeti sorrendbe rendezzük, akkor az {a_n} sorozat egy {a_n^*} részsorozatát kapjuk.

Tétel:

Konvergens {a_n} sorozat bármely {a_n^*} részsorozata is konvergens és határértéke egyenlő az eredeti sorozat határértékével.

A következő tétel egyes esetekben segíthet határérték meghatározásában:

Tétel:

Ha {a_n}→A és {b_n}→A és majdnem minden n-re (véges számú tag kivételével) a_n≤c_n≤b_n, akkor c_n→A.

Azaz, ha {a_n} és {b_n} sorozatoknak ugyanaz a határértéke és az {a_n} és {b_n} sorozatok elemeire véges számú tag kivételével igaz az a_n≤c_n≤b_n egyenlőtlenség, azaz az {a_n} és {b_n} sorozatok „közrefogják” a {c_n} sorozatot, akkor a {c_n} sorozat is konvergens és határértéke megegyezik az {a_n} és {b_n} sorozatok határértékével.

Bizonyítás:

Mivel {a_n} és {b_n} sorozatok konvergensek és határértékük megegyezik, ezért mindkét sorozatnak ugyanazon szám bármily kis sugarú környezetéből csak véges számú tag esik ki. De akkor ez igaz a {c_n} sorozatra is, hiszen a {cn} többi tagjára igaz a a_n≤c_n≤b_n egyenlőtlenség.

Ezt a tételt szokás rendőr-elvnek vagy közrefogási szabálynak is nevezni.

Feladat:

Határozzuk meg a ​\( a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}} \)​ (n≥2) sorozat  határértékét!

Megoldás:

Tudjuk, hogy ​\( 1<a_{n}=\frac{n+1}{n-1}≤3 \)​. Így ​\( 1^{\frac{1}{n}}<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤3^{\frac{1}{n}} \)​.

Más alakban: ​\( 1<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤\sqrt[n]{3} \)​.

Mivel ​\( \lim_{ n \to \infty }1=1 \)​ és ​\( \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{3}=1 \)​.

A rendőr-szabályt alkalmazva:

​\( \lim_{ n \to \infty }\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}=1 \)​.

Definíció:

Az {a_n} sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha bármely pozitív ε–hoz megadható olyan ε-tól függő N küszöbszám, hogy bármely n, m>N esetén |a_n–a_m|<ε.

Tétel:

Egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.