Tétel:
Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.
Ez a határérték fogalmából következik.
Tétel:
Minden konvergens sorozat korlátos.
A korlátosság a sorozat konvergenciájának a szükséges, de nem elégséges feltétele.
A {(-1)n }sorozat nyilvánvalóan korlátos, de nem konvergens.
Tétel:
Minden monoton és korlátos sorozat konvergens.
Ez a tétel fontos és hasznos a határérték létezésének megállapítására, de sokszor nem elegendő a határérték meghatározására, kiszámítására.
A monotonítás azonban nem szükséges feltétele a konvergenciához.
Például: an=(-1/2)n. Ebben a sorozatban minden páros indexű tag pozitív; minden páratlan indexű tag negatív (oszcillál a sorozat), tehát nem monoton, de korlátos (k=-1/2;K=1/4) és konvergens. A sorozat tagjai két oldalról közelítenek a nullához, azaz \( \lim_{ n \to \infty }=0 \).
Ha egy {an} sorozat végtelen sok tagját kiválasztjuk és az eredeti sorrendbe rendezzük, akkor az {an} sorozat egy {an*} részsorozatát kapjuk.
Tétel:
Konvergens {an} sorozat bármely {an*} részsorozata is konvergens és határértéke egyenlő az eredeti sorozat határértékével.
A következő tétel egyes esetekben segíthet határérték meghatározásában:
Tétel:
Ha {an}→A és {bn}→A és majdnem minden n-re (véges számú tag kivételével) an≤cn≤bn, akkor cn→A.
Azaz, ha {an} és {bn} sorozatoknak ugyanaz a határértéke és az {an} és {bn} sorozatok elemeire véges számú tag kivételével igaz az an≤cn≤bn egyenlőtlenség, azaz az {an} és {bn} sorozatok „közrefogják” a {cn} sorozatot, akkor a {cn} sorozat is konvergens és határértéke megegyezik az {an} és {bn} sorozatok határértékével.
Bizonyítás:
Mivel {an} és {bn} sorozatok konvergensek és határértékük megegyezik, ezért mindkét sorozatnak ugyanazon szám bármily kis sugarú környezetéből csak véges számú tag esik ki. De akkor ez igaz a {cn} sorozatra is, hiszen a {cn} többi tagjára igaz a an≤cn≤bn egyenlőtlenség.
Ezt a tételt szokás rendőr-elvnek vagy közrefogási szabálynak is nevezni.
Feladat:
Határozzuk meg a \( a_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}} \) (n≥2) sorozat határértékét!
Megoldás:
Tudjuk, hogy \( 1<a_{n}=\frac{n+1}{n-1}≤3 \). Így \( 1^{\frac{1}{n}}<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤3^{\frac{1}{n}} \).
Más alakban: \( 1<\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}≤\sqrt[n]{3} \).
Mivel \( \lim_{ n \to \infty }1=1 \) és \( \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{3}=1 \).
A rendőr-szabályt alkalmazva:
\( \lim_{ n \to \infty }\left( \frac{n+1}{n-1} \right)^{\frac{1}{n}}=1 \).
Definíció:
Az {an} sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha bármely pozitív ε–hoz megadható olyan ε-tól függő N küszöbszám, hogy bármely n, m>N esetén |an–am|<ε.
Tétel:
Egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.