Kamatszámítás

1. feladat:

Év elején 100 000 forintot beteszünk a bankba, évi 8%-os kamatláb mellett. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Számoljuk ki évenként is. 100 000 normál alakban=10⁵.

A kamatos kamat elve az, hogy az induló összeget a gyakorisági időszakok végén a kamattal megnövelik és a megnövelt összeg kamatozik tovább.

Megoldás:

Ez egy egyszerű százalékszámítási feladat.

1. év végén: 10⁵⋅1,08=108 000.
2. év végén: (10⁵⋅1,08)⋅1,08=10⁵⋅1,08²=116 640.
3. év végén: (10⁵⋅1,08²)⋅1,08=10⁵⋅1,08³≈125 971.
4. év végén: (10⁵⋅1,08³)⋅1,08=10⁵⋅1,08⁴≈136 049.

Képlettel: t₄=10⁵⋅1,08⁴≈136 049.

Általánosan:

Jelölje az induló összeget (tőke) t₀, p a kamatlábat, n pedig az „évek” (a tőkésítések) számát.
Ekkor a képlet: ​\( t_{n}=t_{0}·\left(1+\frac{p}{100}\right)^n \)​.

A fenti példa esetén: t₀=10⁵, p=8%, n=4.

2. feladat:

Hogyan változik az eredmény, ha az évenkénti tőkésítés helyett félévenkénti tőkésítést alkalmazunk?

Év elején 100 000 forintot beteszünk a bankba, évi 8%-os kamatláb mellett félévi tőkésítéssel. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Hány %-kal több ez a betét az összegnél? Számoljuk ki évenként (is).

Megoldás:

Ekkor az éves kamat felével kell számolni, viszont a tőkésítési gyakoriság kétszeres lesz.

A fenti példa esetén most így : t₀=10⁵, p=4%, n=8.

Így az eredmény: t₈=10⁵⋅1,04⁸≈136857. A különbség: 808 Ft. Nem túl jelentős!

3. feladat:

Egy család lakásvásárlásra felvesz 10 millió forintot 20 évre évi 6%-os kamatra. Minden évben ugyanakkora összeggel szeretnék törleszteni a kölcsönt. Mekkora összeget kell befizetniük évenként.
10 millió normál alakban=10⁷.

Megoldás:

Jelöljük a törlesztési összeget x-el. Kövessük évenként, hogyan alakul a hitelünk.

1. év végén: 10⁷⋅1,06-x. Az első tőkésítés után levonódik az első befizetett törlesztési összeggel.
2. év végén: (10⁷⋅1,06-x)⋅1,06-x=10⁷⋅1,06²-1,06⋅x-x=10⁷⋅1,06²-x⋅(1,06+1).
3. év végén: (10⁷⋅1,06²-1,06⋅x-x)⋅1,06-x=10⁷⋅1,06³-x⋅(1,06²+1,06+1).
… év végén:
20. év végén: 10⁷⋅1,06²⁰-x⋅(1,06¹⁹+1,06¹⁸+…+1,06++1).

Mivel a 20 év végén kifizettük az adósságunkat, ezért a következő egyenlet írható fel:

10⁷⋅1,06²⁰-x⋅(1,06¹⁹+1,06¹⁸+…+1,06++1)=0

Érdemes most megvizsgálni a zárójelben szereplő húsztagú kifejezést.

Ennek tagjai egy olyan mértani sorozat elemei, amelyben az első tag 1; a kvóciens pedig q=1.06.
Ezt figyelembe véve a zárójelen belüli kifejezés a mértani sorozat összegképletével jól számolható:

1,06¹⁹+1,06¹⁸+…+1,06++1=S_n.
 ​\( S_{n}=1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \)​.

Ezért a fenti egyenlet így írható:  10⁷⋅1,06²⁰-x⋅​\( 1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \)​=0.

Az egyenletet x-re rendezve: x=10⁷⋅1,06²⁰:​\( 1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \)​.

Azaz: \( x=\frac{10^7·1,06^{20}·0,06}{1,06^{20}-1}=6·10^5·\frac{1,06^{20}}{1,06^{20}-1}≈872 000 \)​.

Ennek havi részlete: 72670 Ft.

Vannak, akik úgy okoskodtak, hogy kiszámítják, mennyit ér a 10 millió forint, ha 20 évig évi 6%-kal kamatozik:

​\( t_{20}=10^7·\left(1+\frac{6}{100} \right)^{20}=10^7·1.06^{20}≈3,21·10^7 \)​.

Majd ezt osztják 20 egyenlő részre! x≈3,21⋅10^7=1,605⋅10^6=1 605 000. Majdnem a duplája lenne!