1. feladat:
Év elején 100 000 forintot beteszünk a bankba, évi 8%-os kamatláb mellett. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Számoljuk ki évenként is. 100 000 normál alakban=105.
A kamatos kamat elve az, hogy az induló összeget a gyakorisági időszakok végén a kamattal megnövelik és a megnövelt összeg kamatozik tovább.
Megoldás:
Ez egy egyszerű százalékszámítási feladat.
1. év végén: 105⋅1,08=108 000.
2. év végén: (105⋅1,08)⋅1,08=105⋅1,082=116 640.
3. év végén: (105⋅1,082)⋅1,08=105⋅1,083≈125 971.
4. év végén: (105⋅1,083)⋅1,08=105⋅1,084≈136 049.
Képlettel: t4=105⋅1,084≈136 049.
Általánosan:
Jelölje az induló összeget (tőke) t0, p a kamatlábat, n pedig az „évek” (a tőkésítések) számát.
Ekkor a képlet: \( t_{n}=t_{0}·\left(1+\frac{p}{100}\right)^n \).
A fenti példa esetén: t0=105, p=8%, n=4.
2. feladat:
Hogyan változik az eredmény, ha az évenkénti tőkésítés helyett félévenkénti tőkésítést alkalmazunk?
Év elején 100 000 forintot beteszünk a bankba, évi 8%-os kamatláb mellett félévi tőkésítéssel. Mennyi pénzünk lesz 4 év elteltével, ha minden év végén tőkésítenek? Hány %-kal több ez a betét az összegnél? Számoljuk ki évenként (is).
Megoldás:
Ekkor az éves kamat felével kell számolni, viszont a tőkésítési gyakoriság kétszeres lesz.
A fenti példa esetén most így : t0=105, p=4%, n=8.
Így az eredmény: t8=105⋅1,048≈136857. A különbség: 808 Ft. Nem túl jelentős!
3. feladat:
Egy család lakásvásárlásra felvesz 10 millió forintot 20 évre évi 6%-os kamatra. Minden évben ugyanakkora összeggel szeretnék törleszteni a kölcsönt. Mekkora összeget kell befizetniük évenként.
10 millió normál alakban=107.
Megoldás:
Jelöljük a törlesztési összeget x-el. Kövessük évenként, hogyan alakul a hitelünk.
1. év végén: 107⋅1,06-x. Az első tőkésítés után levonódik az első befizetett törlesztési összeggel.
2. év végén: (107⋅1,06-x)⋅1,06-x=107⋅1,062-1,06⋅x-x=107⋅1,062-x⋅(1,06+1).
3. év végén: (107⋅1,062-1,06⋅x-x)⋅1,06-x=107⋅1,063-x⋅(1,062+1,06+1).
… év végén:
20. év végén: 107⋅1,0620-x⋅(1,0619+1,0618+…+1,06++1).
Mivel a 20 év végén kifizettük az adósságunkat, ezért a következő egyenlet írható fel:
107⋅1,0620-x⋅(1,0619+1,0618+…+1,06++1)=0
Érdemes most megvizsgálni a zárójelben szereplő húsztagú kifejezést.
Ennek tagjai egy olyan mértani sorozat elemei, amelyben az első tag 1; a kvóciens pedig q=1.06.
Ezt figyelembe véve a zárójelen belüli kifejezés a mértani sorozat összegképletével jól számolható:
1,0619+1,0618+…+1,06++1=Sn.
\( S_{n}=1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \).
Ezért a fenti egyenlet így írható: 107⋅1,0620-x⋅\( 1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \)=0.
Az egyenletet x-re rendezve: x=107⋅1,0620:\( 1·\frac{1,06^{20}-1}{1,06-1} \).
Azaz: \( x=\frac{10^7·1,06^{20}·0,06}{1,06^{20}-1}=6·10^5·\frac{1,06^{20}}{1,06^{20}-1}≈872 000 \).
Ennek havi részlete: 72670 Ft.
Vannak, akik úgy okoskodtak, hogy kiszámítják, mennyit ér a 10 millió forint, ha 20 évig évi 6%-kal kamatozik:
\( t_{20}=10^7·\left(1+\frac{6}{100} \right)^{20}=10^7·1.06^{20}≈3,21·10^7 \).
Majd ezt osztják 20 egyenlő részre! x≈3,21⋅10^7=1,605⋅10^6=1 605 000. Majdnem a duplája lenne!
Comments are closed, but trackbacks and pingbacks are open.