Egyenlet fogalma, egyenletek ekvivalenciája

Egyenlet bármely két egyenlőségjellel összekapcsolt kifejezés.

Az egyenletet szokás olyan speciális nyitott mondatnak (változó(k)tól függő állítás) is nevezni, amelynek alaphalmaza számhalmaz.

Egyenlőtlenségről beszélünk, ha a két kifejezést a kisebb (<), nagyobb (>), nemkisebb (≥), nemnagyobb (≤ ) relációs jelek kapcsolnak össze.

Az egyenleteket, egyenlőtlenségeket kétféleképpen is értelmezhetjük.

I. Az első értelmezés szerint a relációs jel (=, <, >, ≥ , ≤) két oldalán szereplő kifejezéseket függvényeknek tekintjük.

Az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásakor az alaphalmaz mindazon értékeit tekintjük, amelyeknél a relációs jel bal és jobb oldalán szereplő függvények helyettesítési értékeire a reláció teljesül. A változó)k) ezen értéke(i)t az egyenlet ill. egyenlőtlenség gyökeinek, ezek halmazát pedig a megoldáshalmaznak nevezzük.

II. A második értelmezés szerint az egyenletet, illetve az egyenlőtlenségeket logikai függvénynek tekintjük.

Az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásakor az alaphalmaz mindazon értékeit keressük, amelyekhez az igaz logikai érték tartozik. A változó(k) ezen értékeinek halmazát az egyenlet, egyenlőtlenség igazsághalmazának nevezzük.

Definíció:

Két egyenletet illetve egyenlőtlenséget ekvivalensnek (egyenértékűnek) mondunk, ha azonos az alaphalmazuk és a megoldáshalmazuk, azaz igazsághalmazuk is.

Az egyenletekben, egyenlőtlenségekben a változók (ismeretlenek), és az állandók (számok) mellett előfordulhatnak még olyan betűk is, amelyek az egyenlet, egyenlőtlenség paraméterei. Ilyenkor paraméteres egyenletről illetve egyenlőtlenségről beszélünk.

Amennyiben az egyenlőség illetve egyenlőtlenség jel két oldalán a változóknak csak algebrai egész kifejezései vannak, akkor ezeket algebrai egyenleteknek nevezzük. Ezek fokszáma a benne szereplő legmagasabb fokszámú tag fokszámával egyenlő. Így beszélhetünk, első, másod, harmad,… és n-ed fokú egyenletről, egyenlőtlenségről.

Nem algebrai egyenletek például az abszolút értékes, a törtes, a gyökös, az exponenciális, a logaritmikus, a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek.

A koordináta-geometriában beszélünk alakzat egyenletéről, amelyet csak az alakzathoz (vonalhoz) tartozó pontok koordinátái elégítenek ki, más pontok koordinátái nem.

Az i.e. 2000-ből való Mezopotámiában talált leletek igazolják, hogy már ekkor meg tudtak oldani egy, sőt két ismeretlenes másodfokú egyenletet is.

Az egyiptomi Rhind papirusz arról tanúskodik, hogy az egyiptomiak is oldattak meg egyenleteket.

Az ókori görögök általában az algebrai problémáikat is geometriai úton próbálták megoldani.

Ugyanakkor a görög Diophantosz volt az a Kr. u. III.században, aki a korábbi, szavakkal körülményesen leírt módszer helyett bevezette az algebrai jelölést az ismeretlenre, a reciprok értékre, a kivonásra. Őt tekintjük az algebrai jelrendszer megalapozójának. Az általa használt jelölések a maiakhoz képest kezdetlegesek, de akkor ez komoly előrelépésnek számított. Később ezt fejlesztette tovább a francia Viete.

A diophantoszi egyenletek olyan speciális, határozatlan egyenletek, amelyekben a változók csak egész megoldásai jönnek szóba. Bár Diophantoszról nevezték el ezeket, de ő maga nem foglalkozott velük.