Diophantoszi egyenletek

Diophantoszi egyenletek nevezzük azokat az egész együtthatós egyenleteket, amelyekben ugyan több ismeretlen is szerepel, mint amennyi egyenlet van, ezek együtthatói egész számok és a megoldásokat is csak az egész számok között keressük.

Bár Diophantosz görög matematikusról nevezték el ezeket az egyenleteket, de ő maga nem foglalkozott velük.

Ilyen egyenlet például az x²+y²=z², ahol x, y, és z pozitív egész számok. Ennek megoldásai a pitagoraszi számhármasok, amelynek végtelen sok megoldása van. Ugyanakkor az x³+y³=z³ egyenletnek nincs megoldása az egész számok között. (lásd Fermat sejtés.)

Feladat:

Ha két pozitív egész szám szorzatához hozzáadjuk az összegüket, akkor 34-et kapunk. Melyik ez a két szám?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 1182. feladat.)

Megoldás:

Jelölje x és y a keresett két számot, ahol x∈ℤ⁺ és y∈ℤ⁺. A feladat feltétele szerint:

x⋅y+x+y=34.

Ez tehát egy egyenlet két ismeretlennel. Viszont van egy feltétel a változó típusára.
Ahhoz, hogy ki tudjuk használni azt a feltételt, miszerint a keresett változók egész számok, ezt az egyenletet próbáljuk meg szorzattá alakítani.

Adjunk az egyenlet mindkét oldalához 1-et!

x⋅y+x+y+1=35 .

Az első két tagból emeljük ki az x-t!

x(y+1)+y+1=35.

Most az így kapott egyenlet baloldalán emeljük ki az (y+1)-t!

(y+1)(x+1)=35.

Mivel x és y változók a feltétel szerint pozitív egészek, ezért az x+1 és y+1 kifejezések is azok.

A 35-t kétféleképpen lehet egész szám szorzatára felbontani: 35=1⋅35 vagy 35=7⋅5.

Az első felbontásból az kapjuk, hogy az egyik tényező 1, és a másik tényező 35. Ekkor az egyik keresett változó 0, a másik pedig a 34.

Ez a két érték ugyan kielégíteni az egyenletet, de mivel mindkét változónak pozitív egésznek kell lennie, ezért ez a megoldás nem felel meg a feladat feltételeinek.

A második felbontás esetén az egyik tényező 5, és a másik tényező 7. Ekkor az egyik keresett változó 4, a másik pedig a 6.

Ez a két érték megfelel a feladat feltételeinek, így a keresett két szám a 4 és a 6.

Ellenőrzés:

A keresett két pozitív egész szám tehát a 4 és a 6.
Szorzatuk 24-el, az összegük pedig 10-zel egyenlő. Ha a szorzatukhoz hozzáadjuk az összegüket, valóban 34-t kapunk.