A nagy Fermat sejtés (tétel)

Van-e megoldása az egész számok körében az xⁿ+yⁿ=zⁿ  egyenletnek? 

Ez a probléma már régóta izgatta a matematikusokat.

Az x²+y²=z²  egyenlet Pitagorasz tételét jelenti, ahol x, y egy derékszögű háromszög befogóinak oldalhosszúságait, z pedig az átfogó hosszúságát jelenti, tehát pozitív valós számok. Az olyan pozitív egész számokat, amelyek kielégítik a Pitagorasz tételt, pitagoraszi számhármasoknak nevezzük. Ilyen számhármasból végtelen sok van.

Ezek után a matematikusokat elkezdte izgatni, hogy van-e megoldása az egész számok körében az x³+y³=z³  egyenletnek, sőt általában az xⁿ+yⁿ=zⁿ  egyenletnek.

Fermat miután elolvasta Diophantosz „Arithmetica” című művében azt a részt, amely az x²+y²=z² egyenlet megoldásairól szól az egész számok körében (Pitagoraszi számhármasok), a következő tartalmú feljegyzést írta ennek a kiadványnak a margójára.

„… Ugyanakkor teljesen lehetetlen a köb felbontása két köb összegére, vagy a negyedik hatványoké két negyedik hatvány összegére, de nem lehet semmilyen más magasabb hatványt sem felbontani két ugyanolyan hatványkitevőjű szám összegére. E tételnek valóban bámulatos bizonyítására jöttem rá, de nincs elég hely, hogy ide leírjam.”
(Lásd: Jelenski: Pitagorasz nyomában 135. old.)

Azaz nincs megoldása az xⁿ+yⁿ=zⁿ  x,y,z,n ∈ ,n>2 diophantoszi egyenletnek az egész számok körében n>2 természetes szám esetén.

Ezzel a széljegyzetével azonban Fermat egy évszázadokon átnyúló versengést indított el a matematikusok között.

Fermat n=4 esetére szóló bizonyítását később megtalálták, és az itt használt módszert átvéve sikerült Euler-nek bizonyítani n=3 esetére is. (az un. végtelen leszállás módszerével)

 

Csak 1993-ban sikerült Andrew Wiles-nak, egy angol matematikusnak a tétel bizonyítása.

Erről a tételről és még sok érdekes matematikai problémáról szól Simon Sing ” A nagy Fermat-sejtés” című lebilincselően érdekes könyve.