A másodfokú egyenlet megoldóképlete

A másodfokú egyenlet általános alakja: ​\( ax^{2}+bx+c=0 \)​; a,b,c∈ℝ; a≠0.

A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése szorzattá alakítással:

Emeljük ki a másodfokú tag együtthatóját az a-t! Itt kihasználtuk azt a feltételt, hogy a≠0.
A zárójelben szereplő másod- és elsőfokú tagból képezzünk teljes négyzetet!
A szögletes zárójelben lévő második tagban végezzük el a tört négyzetre emelését!
A szögletes zárójelben lévő, változót nem tartalmazó tagokat írjuk közös törtvonalra!
A szögletes zárójelben szereplő második tagot négyzetes alakba írva, a szögletes zárójelen belül két négyzet különbségét kaptuk. Itt azonban feltételeztük azt, hogy b2-4ac≥0. Ha nem, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok között.
A szögletes zárójelben szereplő négyzetes tagok különbségére alkalmazzuk az x2-y2=(x+y)(x-y) azonosságot!
Itt a közös nevezőjű törteket egy törtvonalra írva a következő alakot kapjuk a másodfokú egyenlet szorzat alakját.

Most felhasználjuk azt, hogy egy szorzat csak akkor lehet egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, ezért a fenti kifejezés két esetben lehet nulla.

 

vagy	vagy
Az egyenlet egyik gyöke:	Az egyenlet másik gyöke:
Az egyenlet két gyökét összevonva egy kifejezésbe a következő alakot kapjuk: Ezt nevezzük a másodfokú egyenlet megoldóképletének.

A másodfokú egyenlet szorzat alakban tehát: 

Az így kapott  szorzat alakot az egyenlet gyökeivel, az x₁ és x₂ bevezetésével a következő alakba is írhatjuk: a⋅(x-x₁)⋅(x-x₂)=0.

Ezt az alakot nevezzük a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának.

Az egyenlet megoldhatósága tehát a négyzetgyök alatti kifejezésen, a b²-4ac≥0. feltételen múlik.

Ezt a b²-4ac kifejezést hívjuk a másodfokú egyenlet diszkriminánsának.

Feladat:

Oldja meg a 2x²-x-3=0 egyenletet a pozitív számok halmazán!

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 683. feladat.)

Megoldás:

Ennek az egyenletnek a megoldása a megoldóképlet alapján igen könnyű, hiszen csak be kell helyettesíteni a megoldóképletbe a megfelelő értékeket. (a=2; b=-1; c=-3)

Mivel az egyenlet diszkriminánsa 25, ezért az egyenlet két különböző megoldása van.
Ebből az x₁=1,5 jó megoldás, míg a másik gyök, az x₂=-1 nem megoldás a pozitív számok halmazán.
Úgy is mondjuk, hamis gyök vagy álgyök.

Talán nem érdektelen azonban ezen a konkrét példán is megmutatni megoldóképlet levezetését.

Kiemelés:
Teljes négyzetté alakítás:
Négyzetre emelés:
Összevonás:
Négyzetek különbsége:
Szorzat alak:
Összevonás:

Egyenlet egyik gyöke tehát: x+1=0, azaz x₁=-1.  De ez nem pozitív szám.

Egyenlet másik gyöke pedig x+3/2=0, azaz x₂=1,5. Ez jó megoldás.

Az i.e. 2000-ből való Mezopotámiában talált leletek igazolják, hogy már ekkor is meg tudtak oldani másodfokú egyenletet is.

A középkorból elsősorban a francia Viete nevét említhetjük, aki már szimbólumok segítségével igyekezett dolgozni, és az együtthatók helyett betűket használva formulát tudott felírni a másodfokú egyenletek megoldására.

Ugyancsak a középkorban az olasz Cardano is sokat foglalkozott az egyenletek megoldhatóságával. A másodfokú egyenletek gyökeire vonatkozó kutatásai elősegítették a komplex számok elméletének későbbi kialakulását. Igaz, az ő neve elsősorban a harmadfokú egyenletek megoldóképletével forrt össze. (Cardano képlet)