Szabályos testek

Mindjárt az elején felvetődik a kérdés: Mitől szabályos egy test?

Az egyenes körhenger, az egyenes körkúp is rendelkezik szabályossággal.
Talán még azt is mondhatnánk, hogy a legszabályosabb test a gömb.

Arkhimédész  nem a szabályosságuk miatt kérte a síremlékére ezen testek rajzát, hanem az egymás írt testek térfogatainak az aránya ejtette ámulatba.

Akkor hát mit értünk szabályos testeken?

Definíció:

Szabályos testeknek nevezzük azokat a konvex poliédereket, amelyeknek élei, élszögei és lapszögei is egyenlők.

Megjegyzés:

Az olyan térrészt, amelyet véges sok sokszöglap határol, és amely teljes egyenest nem tartalmaz, poliédernek nevezzük.
„Kvázi” szabályos polidérek például az un. Archimédeszi testek.

Eukleidész „Elemek” című könyvében eljutott a szabályos testek ismertetéséig is. Bebizonyította, hogy csak 5 szabályos test (poliéder) létezik, több nem lehetséges.

Az öt szabályos poliéder a következő:

A szabályos testek adatai:

	Lapok száma	Csúcsok száma	Élek száma	Oldallap éleinek száma	Egy csúcsba futó élek száma
Szabályos tetraéder	4	4	6	3	3
Hexaéder (Kocka)	6	8	12	4	3
Oktaéder	8	6	12	3	4
Dodekaéder	12	20	30	5	3
Ikozaéder	20	12	30	3	5

Leolvasható Euler tétele, amely a csúcsok, a lapok és az élek száma között mond ki összefüggést:

Lapok száma + csúcsok száma = élek száma + 2

A tételt már Descartes is ismerte, Euler azonban tőle függetlenül újra felfedezte.

Az egyes testek elkészítése (hálója):

A szabályos testekkel már Pitagorasz és követői a püthagoreusok is foglalkoztak. Az ikozaédert már Babilonban is ismerték, és Pádua mellett találtak egy Kr.e. 500 előtti időből származó dodekaéder alakú etruszk emlékművet.

Az alábbiakban az arisztotelészi négy őselem (tűz, föld, levegő víz) és a szabályos testek kapcsolatát szemlélteti, ahogyan az ókori görögök képzelték:

Talán emiatt szokás a szabályos testeket platóni testek néven is emlegetni.

Feladat:

Egy a élhosszúságú kocka minden lapközéppontját kössük össze a szomszédos lapközéppontokkal, így egy szabályos oktaéder élhálózatát kapjuk! Mekkora az ehhez tartozó szabályos oktaéder felszíne és térfogata?

(Összefoglaló feladatgyűjtemény 2311. feladat.)

Megoldás:

A mellékelt ábrán láthatjuk a kockát és benne a lapközéppontokat összekötő élekből kapott oktaédert.

 

Ha a kockát felülnézetből nézzük, így látható az oktaéder síkmetszete. Az L₁L₂=b szakasz az oktaéder éle, amely az L₁PL₂ derékszögű háromszög átfogója. Ebből Pitagorasz tétele értelmében ​\( b=\sqrt{2}·\frac{a}{2} \)​

Felszín:

Mivel az oktaéder felszínét 8 db b oldalú egybevágó háromszög alkotja, ezért:

Térfogat:

Mivel az oktaéder térfogatát két darab olyan négyzet alapú gúla alkotja, amelynek alapéle és oldaléle is b, magassága pedig mindegyiknek a/2, ezért: